Solvability of initial boundary value problems for a quasihydrodynamic system of equations in the case of a weakly compressible fluid

Abstract

Subject of research: solvability of the first initial-boundary value problem for a quasi-hydrodynamic system of equations in the case of a weakly compressible fluid.

Method of research: the proof is based on the Galerkin method using a priori estimates.

Main results of research: the existence theorem for generalized solutions is proven.

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Система квазигидродинамических (далее, КГиД) уравнений в случае слабосжимаемой жидкости имеет вид:

$div\overrightarrow{u}=div\overrightarrow{w}, \left(t, x\right)\in Q=\left(\mathrm{0,}T\right)\times G, G\subset {ℝ}^3$,

$\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{u}+\frac{1}{\rho }\nabla p =$

$\overrightarrow{f}+\mu \Delta \overrightarrow{u}+\mu \nabla \left(div\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{w}+\overrightarrow{w}div\overrightarrow{u},$

$\mu =\frac{\eta }{\rho }, \overrightarrow{w}=\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}+\frac{1}{\rho }\nabla p-\overrightarrow{f}\right)$, (1)

где плотность $\rho$, динамическая вязкость $\mu$ и характерное время релаксации $\tau$ считаются заданными положительными константами. Векторное поле $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{f}\left(x,t\right)$ определяет массовую плотность внешних сил. Система (1) замкнута относительно неизвестных функций – вектора скорости $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\left(x,t\right)$ и давления $p=p \left(x,t\right)$. Символы $div$ и $\nabla$ определяют операции дивергенции и градиента соответственно. Уравнение рассматривается в ограниченной области $G$ с границей Г $\in C^2$.

Система (1) дополняется начально-краевыми условиями:

$\overrightarrow{u}{|}_{\text{Γ}}=\mathrm{0,} \overrightarrow{w}\cdot \nu {|}_S=\mathrm{0,} \overrightarrow{u}{|}_{t=0}=$

${\overrightarrow{u}}_0\left(x\right), \underset{G}{}p\left(t,x\right)dx=\mathrm{0,}$(2)

где $v$ – единичный вектор внешней нормали к Г.

Система (1) в более общем виде была выведена в статьях [1], [2] на основе известной кинетической модели. Первые варианты системы называются системой квазигазодинамических (далее – КГД) уравнений. Посвященную ей теорию и ее вывод можно найти в монографиях [3], [4]. Позднее, на основе более общего уравнения состояния, была предложена еще одна модель [5], [6] (КГиД система уравнений). В частности, вывод этой модели и некоторые результаты можно найти в монографии [7]. Здесь в случае слабосжимаемой жидкости (т. е. для системы (1)) были доказаны теоремы о диссипации полной энергии, а также теоремы единственности для классических решений системы. В статьях [8, 9, 10] Злотником А.А. были получены результаты по части анализа некоторых неклассических задач для КГиД уравнений. Для линеаризованной КГиД системы им получены результаты о существовании и единственности обобщенных решений задач Коши и начально-краевых задач в случае реального и политропного газа на произвольном временном промежутке. Позднее на основе линеаризованной КГД системы уравнений на постоянном решении строилась система с общей регуляризующей скоростью, а также устанавливалось вырождение свойства параболичности исходной системы [11]. Для КГиД системы уравнений в случае слабосжимаемой жидкости авторами работы [12] были доказаны теоремы существования и единственности обобщенных и регулярных решений при некоторых условиях на данные. В работе [13] исследуется модель на основе КГД и КГиД уравнений в многомасштабных средах, которую можно использовать в приложениях с пористыми средами. В качестве основы для такой модели был предложен вычислительный многомасштабный метод, основанный на идее минимизаций энергии связи, для решения задач КГД и повышения точности моделирования. Стоит отметить, что в последнее время регуляризованные уравнения гидродинамики КГиД-типа широко используются для построения численных методов. Некоторые последние результаты представлены в [13-17]. Несмотря на обширные исследования, посвященные решению задач квазигидродинамики, работы, посвященные доказательству теоремы о существовании и единственности глобального решения начально-краевой задачи для нелинейных систем КГиД уравнений, вероятно, отсутствуют. В данной работе будет предпринята попытка восполнить этот пробел.

В настоящей работе устанавливается, что при определенных условиях на данные КГиД системы уравнений существует обобщенное решение первой начально-краевой задачи и его можно найти как предел приближенных решений, вычисляемых по методу Галеркина с использованием априорных оценок.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Вспомогательные результаты и определения

Пусть $u,p$ – достаточно гладкое решение задачи (1), (2). Первое и второе уравнение системы умножим на функции $\phi$ и $\overrightarrow{\psi }$ соответственно, такие что

$\phi \in L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)$, $\underset{G}{}\phi \left(x\right),dx=0$,

$\overrightarrow{\psi }\in L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)$, $\overrightarrow{\psi }{|}_S=0$.

Интегрируя по $G$, придем к равенствам:

$\underset{G}{}\overrightarrow{u}\cdot \nabla \phi dx=\underset{G}{}\overrightarrow{w}\cdot \nabla \phi dx=\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\nabla \phi \right)+$

$\frac{\tau }{\rho }\left(\nabla p,\nabla \phi \right)-\tau \left(\overrightarrow{f},\nabla \phi \right),$

$\left(\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t},\overrightarrow{\psi }\right)+\left(\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}\right),\nabla \right)\overrightarrow{u},\overrightarrow{\psi }\right)+$

$\frac{1}{\rho }\left(\nabla p,\overrightarrow{\psi }\right)=\left(f,\overrightarrow{\psi }\right)-\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{\psi }\right)-$

$\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{\psi }\right)+\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{w},c\psi \right)+$

$\left(\overrightarrow{w}div\overrightarrow{u},\overrightarrow{\psi }\right),$ (3)

где точка $·$ означает скалярное произведение в ${\mathrm{ℝ}}^3$ и $\left(u,v\right)=\underset{G}{}uvdx$ для скалярных функций и $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\underset{G}{}\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}dx$ для векторных. Интегрируя по частям, имеем:

$\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{w},\overrightarrow{\psi }\right)=\underset{G}{}(\overrightarrow{u},\nabla )\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{\psi }dG=$

$-\underset{G}{}div\overrightarrow{u}\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{\psi }dG-\underset{G}{}(\overrightarrow{u},\nabla )\overrightarrow{\psi }\cdot \overrightarrow{w}dG$(4)

Используя это равенство в (3), получаем равенства:

$\left(\overrightarrow{u},\nabla \phi \right)=\left(\overrightarrow{w},\nabla \phi \right), \left(\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t},\overrightarrow{\psi }\right)-$

$\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u}\right)+\frac{1}{\rho }\left(\nabla p,\overrightarrow{\psi }\right)+$

$\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{\psi }\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{\psi }\right)$

$+\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{w}\right)=\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{\psi }\right),$ (5)

справедливые при п.в. $t$. Равенство (5) может служить основой для определения обобщенного решения задачи. Пусть $p_0\in \left[\mathrm{1,3}/2\right]$, $q_0=2p_0/\left(4p_0-3\right)$, $p_1=5/4$.

Функции

$\overrightarrow{u}\in L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)\cap L_{\infty }\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(G\right)\right)$,

$u_t\in L_{p_1}\left(\mathrm{0,}T;W_{p_1}^{-1}\left(G\right)\right)$, $p\in L_{p_1}\left(\mathrm{0,}T;W_{p_1}^1\left(G\right)\right)$

такие, что $\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\in L_2\left(Q\right)$, удовлетворяюшие (2) называются обобщенным решением задачи (1), (2), если

$\underset{0}{\overset{T}{}}(\overrightarrow{u},\nabla \phi )dt=\underset{0}{\overset{T}{}}(\overrightarrow{w},\nabla \phi )dt, \underset{0}{\overset{T}{}}[\left(\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t},\overrightarrow{\psi }\right)-$

$\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u}\right)+\frac{1}{\rho }\left(\nabla p,\overrightarrow{\psi }\right)+$

$\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{\psi }\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{\psi }\right)+$

$\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{w}\right)igr]dt=\underset{0}{\overset{T}{}}(\overrightarrow{f},\overrightarrow{\psi })dt,$

для всех функций $\phi \in L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)$ с

$\underset{G}{}\phi \left(t,x\right)dx=\mathrm{0,} \overrightarrow{\psi }\in L_5\left(\mathrm{0,}T;W_5^1\left(G\right)\right)$ и $\overrightarrow{\psi }{|}_S=0$.

Пусть

$a\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\psi }\right)=\left(\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t},\overrightarrow{\psi }\right)-\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u}\right)+$

$\frac{1}{\rho }\left(\nabla p,\overrightarrow{\psi }\right)+\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{\psi }\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{\psi }\right)+$

$\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{w}\right).$

Основные результаты

Теорема. Пусть $f\in L_2\left(Q\right)$ , $u_0\in L_2\left(G\right)$ . Тогда существует обобщенное решение задачи (1), (2) что $\nabla p,\left(u,\nabla u\right)u\in L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)$ для любого $p_0\in \left[\mathrm{1,3}/2\right]$ , где $q_0=2p_0/\left(4p_0-3\right).$

Доказательство. Вначале для гладких решений задачи получим первую априорную оценку. Пусть $\phi =p$ и $\overrightarrow{\psi }=\overrightarrow{u}$ в (5), тогда:

$\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\nabla p\right)+\frac{\tau }{\rho }\left(\nabla p,\nabla p\right)-$

$\tau \left(\overrightarrow{f},\nabla p\right)-\left(\overrightarrow{u},\nabla p\right)=\mathrm{0,}$

$\left(\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t},\overrightarrow{u}\right)-\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\right)+$

$\frac{1}{\rho }\left(\nabla p,\overrightarrow{u}\right)+\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{u}\right)+$

$\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\left(\tau \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}+\frac{\tau }{\rho }\nabla p-\tau \overrightarrow{f}\right)\right)=\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{u}\right).$ (6)

Разделив первое из равенств в (6) на $\rho$ и сложив его со вторым равенством и используя равенство $\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\right)=0$ в силу первого уравнения в (1) и интегрирования по частям, получим

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{G}{}\frac{|\overrightarrow{u}{|}^2}{2}dx+\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+$

$\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{u}\right)+\frac{\tau }{{\rho }^2}\left(\nabla p,\nabla p\right)+$

$\frac{\tau }{\rho }\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\nabla p\right)-\frac{\tau }{\rho }\left(\overrightarrow{f},\nabla p\right)-\frac{1}{\rho }\left(\overrightarrow{u},\nabla p\right)+$

$\frac{1}{\rho }\left(\nabla p,\overrightarrow{u}\right)+\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)+$

$\frac{\tau }{\rho }\left(\nabla p,\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)-\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\overrightarrow{f}\right))=\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{u}\right),$(7)

Приводя подобные, заключаем, что

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{G}{}\frac{|\overrightarrow{u}{|}^2}{2}dx+\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+$

$\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{u}\right)+\frac{\tau }{{\rho }^2}\left(\nabla p,\nabla p\right)+$

$\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)+\frac{2\tau }{\rho }\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\nabla p\right)-$

$\frac{\tau }{\rho }\left(\overrightarrow{f},\nabla p\right)-\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\overrightarrow{f}\right)=\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{u}\right),$ (8)

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{G}{}\frac{|\overrightarrow{u}{|}^2}{2}dx+\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{u}\right)+$

$\tau \left(\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)=$

$\tau \left(\overrightarrow{f},\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)+\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{u}\right),$(9)

Оценим правую часть, используя неравенство Коши:

$\left|ab\right|\le \frac{\epsilon }{2}{a}^2+\frac{1}{2\epsilon }{b}^2, (\epsilon >0).$ (10)

Имеем, что

$\tau \left|\left(\overrightarrow{f},\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)\right|\le \tau \underset{G}{}\frac{|\overrightarrow{f}{|}^2}{2}dx+\frac{\tau }{2}\underset{G}{}|$

$\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{|}^{2}dx,$(11)

$\left|\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{u}\right)\right|\le \frac{\epsilon }{2}\underset{G}{}|\overrightarrow{u}{|}^2 dx+\underset{G}{}|\overrightarrow{f}{|}^{2}dx\frac{1}{2\epsilon } ,$(12)

Используя эти неравенства в (9), получим

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{G}{}\frac{|\overrightarrow{u}{|}^2}{2}dx+\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{u}\right)+$

$\frac{\tau }{2}\left(\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)\le$

$\frac{\tau }{2}\underset{G}{}|\overrightarrow{f}{|}^{2}dx+\frac{1}{2\epsilon }\underset{G}{}|\overrightarrow{f}{|}^{2}dx+\frac{\epsilon C_0}{2}\underset{G}{}|\nabla \overrightarrow{u}{|}^{2}dx,$(13)

где постоянная $C_0$ взята из неравенства Пуанкаре

$\underset{G}{}|\overrightarrow{u}{|}^{2}dx\le C_0\underset{G}{}|\nabla \overrightarrow{u}{|}^{2}dx,$справедливого для всех $\overrightarrow{u}\in W_2^1\left(G\right)$, таких, что $\overrightarrow{u}{|}_{\text{Γ}}=0$. Возьмем $\epsilon =\frac{\mu }{C_0}$, тогда получим

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{G}{}\frac{|\overrightarrow{u}{|}^2}{2}dx+\frac{\mu }{2}\left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{u}\right)+$

$\frac{\tau }{2}\left(\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)\le$

$\underset{G}{}|\overrightarrow{f}{|}^{2}dx\left(\frac{\tau }{2}+\frac{C_0}{2\mu }\right).$(14)

Пусть $J=\frac{\mu }{2}\left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{u}\right)+$

$\frac{\tau }{2}\left(\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)$.

Интегрируем от 0 до t:

$\underset{G}{}\frac{|\overrightarrow{u}{|}^2\left(t\right)}{2}dx+\underset{0}{\overset{t}{}}\underset{G}{}Jdxdt\le$

$C_1\underset{0}{\overset{t}{}}\underset{G}{}|\overrightarrow{f}{|}^{2}dxdt+\underset{G}{}\frac{u_0^2}{2}dx=M$(15)

Отсюда получим оценки

$ma{x}_t\underset{G}{}|\overrightarrow{u}\left(t\right){|}^{2}dx\le M,$ (16)

$\underset{Q}{}\frac{\mu }{2}\left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{u}\right)+\mu {\left(div\overrightarrow{u}\right)}^2+$

$\frac{\tau }{2}\left(\frac{\nabla \overrightarrow{p}}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},\frac{\nabla \overrightarrow{p}}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)\le M$ (17)

Как следствие, имеем априорные оценки для решений:

$\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)}+\parallel div \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}+$

$\parallel \frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\le C_1\left(M\right).$(18)

где $C_1\left(M\right)$ – некоторая постоянная, зависящая от $M,\mu ,\tau$,

$\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{\infty }\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(G\right)\right)}\le C_1\left(M\right).$ (19)

Оценим все слагаемые, входящие в определение обобщенного решения. Покажем, что $\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{s_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}\le C, p_0\in \left[\mathrm{1,3}/2\right].$(20) Оцениваем по неравенству Гельдера:

$\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{p_0}\left(G\right)}\le C\parallel \nabla \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{p_{0}q}\left(G\right)},$ (21)

где $q=\frac{2}{2-p_0}$. Далее, используем теорему вложения: $W_2^S\left(G\right)\subset L_r\left(G\right)$. Возьмем

$p_{0}q=r=\frac{6}{3-2S},$

тогда

$\frac{p_0}{2-p_0}=\frac{3}{3-2S}=>S=\frac{3\left(p_0-1\right)}{p_0}.$

Необходимое неравенство $S\le 1$ эквивалентно неравенству $p_0\le 3/2$. Из (21) вытекает оценка:

$\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{p_0}\left(G\right)}\le C_1\parallel \nabla \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{W_2^S\left(G\right)}.$(22)

Последний множитель оцениваем, используя интерполяционное неравенство:

$\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{W_2^S\left(G\right)}\le C\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^{\Theta }\cdot \parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}^{1-\Theta },$(23)

где $S=\Theta$. Из (22) получаем оценку:

$\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{p_0}\left(G\right)}\le C\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^{1+S}\cdot \parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}^{1-S}.$(24)

Воспользовавшись (19), получим

$\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}\le$

$C_1\left(M\right){(\underset{0}{\overset{T}{}}\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^{q_0\left(1+S\right)}dt)}^{1/q_0}\le C_2\left(M\right),$(25)

где выберем:

$q_0\left(1+S\right)=\mathrm{2,}$ т.е., $q_0=2p_0/\left(4p_0-3\right).$ (26)

Легко увидеть, в силу условий на параметр $p_0$, что $q_0\ge 1$. Имеем из оценки (18), что

$\parallel \frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\le C.$ (27)

Отметим, что

$\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\ge C\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}.$ (28)

Действительно, используя неравенство Гельдера, получим:

$\left[\underset{0}{\overset{T}{}}{\left(\underset{G}{}\right|\overrightarrow{u}{|}^{p}dx)}^{\frac{q_0}{p_0}}dt{]}^{\frac{1}{q_0}}\le C_0\right[$

$\underset{0}{\overset{T}{}}{\left(\underset{G}{}\right|\overrightarrow{u}{|}^{2}dx)}^{\frac{q_0}{2}}dt{]}^{\frac{1}{q_0}}\le C_1\parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}.$ (29)

Отсюда получим:

$C\left(M\right)\ge \parallel \frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\ge$

$C\parallel \frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}\ge$

$\frac{\nabla p}{\rho }{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}-\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}\ge$

$\parallel \frac{\nabla p}{\rho }{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}-C_3\left(M\right).$ (30)

Получаем оценки:

$\parallel \nabla p{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}+$

$\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}\le C_4\left(M\right),$(31)

Как следствие, при $p_0=p_1=5/4$, поскольку $p_0=q_0$, в этом случае, имеем:

$\parallel \nabla p{\parallel }_{L_{p_1}\left(Q\right)}+\parallel \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_{p_1}\left(Q\right)}\le C_4\left(M\right).$ (32)

Так как

$\overrightarrow{w}=\tau \left(\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}-\overrightarrow{f}\right),$ (33)

то отсюда имеем равенство для нормы $\overrightarrow{w}$:

$\parallel \overrightarrow{w}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\le \parallel \left(\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}\right)$

${\parallel }_{L_2\left(Q\right)}+\parallel \overrightarrow{f}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\le C_5\left(M\right).$ (34)

Оценим слагаемые из определения обобщенного решения. Имеем:

$\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u}\right)=\underset{G}{}\underset{i,j}{}({\overrightarrow{u}}_i-{\overrightarrow{w}}_i){\overrightarrow{\psi }}_{j{x}_i}{\overrightarrow{u}}_{j}dx$ (35)

Используем неравенство Гельдера:

$I=\underset{G}{}{\overrightarrow{w}}_i{\overrightarrow{\psi }}_{j{x}_i}{\overrightarrow{u}}_{j}dx, \left|I\right|\le \parallel {\overrightarrow{w}}_i{\overrightarrow{u}}_j{\parallel }_{L_{p_0}\left(G\right)}\cdot \parallel {\overrightarrow{\psi }}_{j{x}_i}$

${\parallel }_{Lq\left(G\right)}, 1/p_0+1/q=1.$(36)

Показатель $p_0$ тот же. Далее, аналогично получаем (см. (19)):

$I_1={\left[\underset{G}{}{\left({\overrightarrow{w}}_i\right)}^{p_0}{\left({\overrightarrow{u}}_j\right)}^{p_0}dx\right]}^{\frac{1}{p_0}}\le$

$\parallel \overrightarrow{w_i}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{u_j}{\parallel }_{L_{p_{0}q}}\le C_6\parallel \overrightarrow{w_i}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{u_j}{\parallel }_{W_2^S\left(G\right)}\le$

$\parallel \overrightarrow{w_i}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{u_j}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^S\cdot \parallel \overrightarrow{u_j}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}^{1-S}\le$

$C_7\parallel \overrightarrow{w_i}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{u_j}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^S.$ (37)

Имеем оценку интеграла:

$\parallel I_1{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T\right)}\le [\underset{0}{\overset{T}{}}\parallel \overrightarrow{w_i}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}^{q_0}\cdot \parallel \overrightarrow{u_j}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^{S{q}_0}dt{]}^{\frac{1}{q_0}}.$ (38)

Применим неравенство Гельдера с $q=\frac{2}{q_0}$:

$\parallel I_1{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T\right)}\le \parallel \overrightarrow{w_i}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\cdot {[\underset{0}{\overset{T}{}}\parallel \overrightarrow{u_j}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^{S{q}_0\frac{2}{2-q_0}}dt]}^{\frac{2-q_0}{2q_0}}.$ (39)

Отметим, что $\frac{2S{q}_0}{2-q_0}\le 2$. Тогда

$\parallel I_1{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T\right)}\le C_8\left(M\right).$ (40)

Воспользуемся неравенством (см. (36)):

$I\le C_7\parallel \overrightarrow{w_i}\overrightarrow{u_j}{\parallel }_{L_{p_0}\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{\psi }{\parallel }_{W_q^1\left(G\right)}.$ (41)

Выражение

$l\left(\overrightarrow{\psi }\right)=\underset{i,j}{}\underset{G}{}\overrightarrow{w_i}{\overrightarrow{\psi }}_{j{x}_i}\overrightarrow{u_j}dx=\left(\left(\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u}\right)$(42)

– есть линейный непрерывный функционал над $W_q^{\circ 1}\left(G\right)$. Из (37), (41) вытекает, что

$\parallel l\left(\overrightarrow{\psi }\right){\parallel }_{W_{p_0}^{-1}\left(G\right)}=\underset{\overrightarrow{\psi }\in \stackrel{\circ 1}{W}\left(G\right)}{\sup }\frac{\parallel l\left(\overrightarrow{\psi }\right)\parallel }{\parallel \overrightarrow{\psi }{\parallel }_{W_q^{\circ 1}\left(G\right)}}\le$

$C_9\parallel \overrightarrow{w}{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\cdot \parallel \overrightarrow{u}{\parallel }_{W_2^1\left(G\right)}^S,$ $q=p_0/\left(p_0-1\right)$(43)

Используя (40), получим

$\parallel l\left(\overrightarrow{\psi }\right){\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;W_{p_0}^{-1}\left(G\right)\right)}\le C_{10}\left(M\right).$ (44)

Обозначим

$\left(\nabla p,\overrightarrow{\psi }\right)=l_1\left(\overrightarrow{\psi }\right), \nabla p\in L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right).$(45)

Выражение имеет смысл для

$\forall \overrightarrow{\psi }\in L_{{q_0}^{\text{'}}}\left(\mathrm{0,}T;L_q\left(G\right)\right).$

Тогда имеем

$l_1\left(\overrightarrow{\psi }\right)\le \parallel \nabla p{\parallel }_{L_{p_0}}\cdot \parallel \overrightarrow{\psi }{\parallel }_{L_q\left(G\right)}.$ (46)

Значит, имеем оценку:

$\parallel l_1\left(\overrightarrow{\psi }\right){\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;W_{p_0}^{-1}\left(G\right)\right)}\le C_{11}\left(M\right).$ (47)

Для интегралов вида

$l_2\left(\overrightarrow{\psi }\right)=\underset{0}{\overset{T}{}}(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u})dt=$

$\underset{0}{\overset{T}{}}\underset{i,j}{}\underset{G}{}\overrightarrow{u_i}{\overrightarrow{\psi }}_{j{x}_i}\overrightarrow{u_j}dxdt, l_3\left(\overrightarrow{\psi }\right)=\underset{0}{\overset{T}{}}(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{w})dt$

аналогично оценке (46) получим оценку:

$\parallel l_i\left(\overrightarrow{\psi }\right){\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;W_{p_0}^{-1}\left(G\right)\right)}\le C_{12}\left(M\right), i=\mathrm{2,3.}$(48)

Пусть $\left\{{\phi }_i\right\}$ – базис в подпространстве пространства $W_2^1\left(G\right)$, состоящего из функций $\phi$, удовлетворяющих условию $\underset{G}{}\phi dx=0$.

В качестве вектор-функций $\left\{{\overrightarrow{\psi }}_i\right\}$ выбираем собственные функции задачи:

$-\text{Δ}\overrightarrow{\psi }=\lambda \overrightarrow{\psi }, \overrightarrow{\psi }{|}_{\text{Γ}}=\mathrm{0,} \overrightarrow{\psi }=$

$\left({\psi }_1,{\psi }_2,{\psi }_3\right)\in W_2^2\left(G\right)\cap W_2^{\circ 1}\left(G\right).$(49)

Они образуют ортонормированный базис в $L_2\left(G\right)$ (после нормировки) и ортогональный базис в пространстве $V=W_2^2\left(G\right)\cap W_2^{\circ 1}\left(G\right)$, если в последнем взять в качестве скалярного произведения выражение

$<\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}{>}_V=(\Delta \overrightarrow{u},\Delta \overrightarrow{v})$.

Пусть $P_N$ – ортопроектор в $L_2\left(G\right)$ на подпространство $V_N=Lin\left\{{\overrightarrow{\psi }}_1,{\overrightarrow{\psi }}_2,\dots ,{\overrightarrow{\psi }}_N\right\}$.

Очевидно, что $P_N\in L\left(V,V\right)$ и в силу двойственности и самопряженности он допускает продолжение до ограниченного оператора класса $L\left(V^{\text{'}},V^{\text{'}}\right)$, где $V\text{'}$ – двойственное пространство, построенное по $L_2\left(G\right)$ и $V$ как пополнение $L_2\left(G\right)$ относительно нормы

$\parallel u{\parallel }_{V^{\text{'}}}=\underset{v\in V}{\sup }|<u,v{>}_V/\parallel v{\parallel }_V$.

В частности, имеем, что $\left(u,P_{N}v\right)=\left(P_{N}u,v\right)$ для всех $v\in V,u\in V^{\text{'}}$. Отметим, что $W_2^2\left(G\right)\cap W_2^{\circ 1}\left(G\right)\subset W_5^{\circ 1}\left(G\right)$ и вложение плотно. Это следствие теорем вложения. Поскольку $V\subset W_5^{\circ 1}\left(G\right)$, имеем, что $W_{5/4}^{-1}\left(G\right)\subset V^{\text{'}}$. Пусть ${\lambda }_i$ – соответствующие собственные значения.

Ищем приближенное решение задачи в виде:

$u_N=\underset{i=1}{\overset{N}{}}{c}_i\left(t\right){\overrightarrow{\psi }}_i\left(x\right), p_N=\underset{i=1}{\overset{N}{}}{\alpha }_i\left(t\right){\phi }_i\left(x\right),$

где $c_i\left(t\right)$ и ${\alpha }_i\left(t\right)$ есть решение системы:

$\left({\overrightarrow{u}}_N-{\overrightarrow{w}}_N,\nabla {\phi }_j\right)=\mathrm{0,} a\left({\overrightarrow{u}}_N,{\overrightarrow{\psi }}_j\right)=$

$\left(\overrightarrow{f},{\overrightarrow{\psi }}_j\right), c_i\left(0\right)=\left({\overrightarrow{u}}_0,\overrightarrow{{\psi }_i}\right), j=\mathrm{1,..,}N.$ (50)

Первое уравнение системы можно переписать в виде

$\left({\overrightarrow{u}}_N-\frac{\tau \nabla p_N}{\rho }-\tau \left({\overrightarrow{u}}_N\nabla \right){\overrightarrow{u}}_N+f\tau ,\nabla {\phi }_i\right)=0.$(51)

Имеем, что

$\left(\frac{\tau \nabla p_N}{\rho },\nabla {\phi }_i\right)=\frac{\tau }{\rho }\underset{j=1}{\overset{N}{}}{\alpha }_j\left(t\right)\left(\nabla {\phi }_j,\nabla {\phi }_i\right),$

$\text{det }(\nabla {\phi }_j,\nabla {\phi }_i)\ne 0$ (52)

Последний определитель – определитель Грама и он отличен от нуля. Действительно, напомним, что имеет место оценка:

$\parallel \nabla p{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\ge c_0\parallel p{\parallel }_{L_2\left(G\right)}$

$\forall p\in W_2^1\left(G\right): \underset{G}{}pdx=0$

Это неравенство гарантирует, что в искомом подпространстве функций $\phi$ можно ввести эквивалентное скалярное произведение $⟨u,v⟩=\left(\nabla u,\nabla v\right)$, что и гарантирует утверждение. Пусть $A$ – матрица с элементами $a_{ij}=\left(\nabla {\phi }_i,\nabla {\phi }_j\right)$. Тогда система (51) перепишется в виде

$\overrightarrow{\alpha }=\frac{\rho }{\tau }{A}^{-1}\left(\begin{array}{c}\left({\overrightarrow{u}}_N-\tau \left({\overrightarrow{u}}_N,\nabla \right){\overrightarrow{u}}_N+\tau f,{\phi }_1\right)\\ \left({\overrightarrow{u}}_N-\tau \left({\overrightarrow{u}}_N,\nabla \right){\overrightarrow{u}}_N+\tau f,{\phi }_N\right)\end{array}\right).$(53)

Подставляя $\overrightarrow{\alpha }$ во вторую систему, получим нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций $c_i\left(t\right)$. Априорная оценка ниже гарантирует, что задача Коши для этой системы имеет решение на всем промежутке $\left[\mathrm{0,}T\right]$.

Далее получим априорные оценки для приближенных решений. Умножим первое и второе уравнение системы (50) на ${\alpha }_i$ и на $c_i$, соответственно, и суммируем равенства по $i$. Тогда получим:

$\left({\overrightarrow{u}}_N-{\overrightarrow{w}}_N,\nabla p_N\right)=\mathrm{0,} a\left({\overrightarrow{u}}_N,{\overrightarrow{u}}_N\right)=\left(f,{\overrightarrow{u}}_N\right).$(54)

Для решений мы имеем уже доказанную оценку (18), (19), и, таким образом,

$\parallel {\overrightarrow{u}}_N{\parallel }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)}+\parallel div {\overrightarrow{u}}_N{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}+$

$\parallel \frac{\nabla p_N}{\rho }+\left({\overrightarrow{u}}_N,\nabla \right){\overrightarrow{u}}_N{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\le C_1\left(M\right),$ (55)

где $C_1\left(M\right)$ – некоторая постоянная, зависящая от $M,\mu ,\tau$,

$\parallel {\overrightarrow{u}}_N{\parallel }_{L_{\infty }\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(G\right)\right)}\le C_1\left(M\right).$ (56)

Оценка имеет тот же самый вид,

поскольку

$\parallel P_{N}f{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\le \parallel f{\parallel }_{L_2\left(G\right)}$, $\parallel P_N{u}_0{\parallel }_{L_2\left(G\right)}\le \parallel u_0{\parallel }_{L_2\left(G\right)}$,

$u_N\left(\mathrm{0,}x\right)=P_N{u}_0$.

$\parallel \nabla p_N{\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}+\parallel \left({\overrightarrow{u}}_N,\nabla \right){\overrightarrow{u}}_N$

${\parallel }_{L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)}\le C_4\left(M\right),$ (57)

Как следствие из (25), (27), (32), (34), имеем:

$\parallel w_N{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}+\parallel \nabla p_N{\parallel }_{L_{5/4}\left(Q\right)}+$

$\parallel \left({\overrightarrow{u}}_N,\nabla \right){\overrightarrow{u}}_N{\parallel }_{L_{5/4}\left(Q\right)}\le C_4\left(M\right),$ (58)

Получим оценку на производную по времени от решения. Перепишем второе уравнение системы в виде:

$\left(\frac{\partial {\overrightarrow{u}}_N}{\partial t},\overrightarrow{\psi }\right)=\left(\left({\overrightarrow{u}}_N-{\overrightarrow{w}}_N,\nabla \right)\overrightarrow{\psi },{\overrightarrow{u}}_N\right)-$

$\frac{1}{\rho }\left(\nabla p_N,\overrightarrow{\psi }\right)+\mu \left(\nabla {\overrightarrow{u}}_N,\nabla \overrightarrow{\psi }\right)-$

$\mu \left(div{\overrightarrow{u}}_N,div\overrightarrow{\psi }\right)-\left(\left({\overrightarrow{u}}_N,\nabla \right)\overrightarrow{\psi },{\overrightarrow{w}}_N\right)+$

$\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{\psi }\right)=L_0\left(\overrightarrow{\psi }\right),$(59)

где $\overrightarrow{\psi }\in V_N$. Выражение $L_0\left(\overrightarrow{\psi }\right)$ есть линейный непрерывный функционал над пространством $W_5^{\circ 1}\left(G\right)$ в силу оценок (46), (47), (48) (где вместо $\overrightarrow{u}$ используется вектор ${\overrightarrow{u}}_N$) и, следовательно, и над пространством $V$. Следовательно, найдется $g_N\left(t\right)\in V^{\text{'}}$ такой, что $L_0\left(\overrightarrow{\psi }\right)=\left(g_N,\overrightarrow{\psi }\right)$ для всех $\psi \in V.$ В силу оценок (46), (47), (48), (54)-(58) имеем, что

$\parallel g_N{\parallel }_{L_{5/4}\left(\mathrm{0,}T;V^{\text{'}}\right)}\le \parallel g_N$ ${\parallel }_{L_{5/4}\left(\mathrm{0,}T;W_{5/4}^{-1}\left(G\right)\right)}\le C_{12}\left(M\right),$

где $C_{12}$ – некоторая постоянная, зависящая от величины $M$ и не зависящая от $N$. Равенство (59) можно переписать в виде:

$u_{Nt}=P_N{g}_N.$

Тогда из предыдущей оценки и ограниченности оператора $P_N$ в $V\text{'}$ вытекает неравенство

$\parallel u_{Nt}{\parallel }_{L_{5/4}\left(\mathrm{0,}T;V^{\text{'}}\right)}\le C_{12}\left(M\right).$(60)

Далее мы воспользуемся теоремой о компактности (теорема 5.1 в [18]). Отметим, что вложение $W_2^{\circ 1}\left(G\right)\subset L_2\left(G\right)$ компактно (теоремы вложения). Последовательность $u_N$ ограничено в пространстве с нормой

$\parallel u\parallel =\parallel u{\parallel }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^{\circ 1}\left(G\right)\right)}+\parallel u_t{\parallel }_{L_{5/4}\left(\mathrm{0,}T;V^{\text{'}}\right)}$

и, следовательно, по теореме о компактности, существует подпоследовательность $u_{N_k}$ и функция $u\in L_2\left(Q\right)$ такие, что $u_{N_k}\to u$ в $L_2\left(Q\right)$ и п. в. в $Q$. Выделяя еще подпоследовательности из этой подпоследовательности, если необходимо, без ограничения общности можем считать, что

$u\in L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)$, $u_{N_k{x}_i}\to u_{x_i}$

слабо в $L_2\left(Q\right)$, $u_{N_{k}t}\to u_t$

слабо в $L_{5/4}\left(\mathrm{0,}T;V^{\text{'}}\right)$, $div{u}_{N_k}\to divu$

слабо в $L_2\left(Q\right)$, $w_N\to w$,

слабо в $L_2\left(Q\right)$, $p_N\to p$ в $L_{5/4}\left(Q\right)$,

$\nabla p_N\to \nabla p$ и $\left(u_N,\nabla \right)u_N\to u_1$

слабо в $L_{5/4}\left(Q\right)$, $u_N\to u *$  -

слабо в $L_{\infty }\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(G\right)\right)$. Покажем, что

$\overrightarrow{w}=\frac{\nabla p}{\rho }+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}-\overrightarrow{f}, {\overrightarrow{u}}_1=\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u},$ (61)

Имеем, что $\nabla p_{N_k}\to \nabla p$ слабо в $L_{5/4}\left(Q\right)$, покажем, что $\left({\overrightarrow{u}}_{N_k},\nabla \right){\overrightarrow{u}}_{N_k}\to \left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}$ в некотором слабом смысле. Действительно, рассмотрим

$\underset{Q}{}(\left({\overrightarrow{u}}_{N_k},\nabla \right){\overrightarrow{u}}_{N_k}-\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u})\cdot \overrightarrow{\psi }dQ=$

$\underset{Q}{}(\left(\left({\overrightarrow{u}}_{N_k}-\overrightarrow{u}\right),\nabla \right){\overrightarrow{u}}_{N_k}+\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\left(\overrightarrow{u}-{\overrightarrow{u}}_{N_k}\right))\cdot \overrightarrow{\psi }dQ$.

Для удобства считаем, что $\overrightarrow{\psi }\in L_{\infty }\left(Q\right)$.

Для первого интеграла имеем оценку

$\left|\underset{Q}{}(\left({\overrightarrow{u}}_{N_k}-\overrightarrow{u},\nabla \right){\overrightarrow{u}}_{N_k}\cdot \overrightarrow{\psi }dQ\right|\le C_{13}\parallel {\overrightarrow{u}}_{N_k}-\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}$

$\parallel \nabla {\overrightarrow{u}}_{N_k}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\to 0$ при $k\to \infty$

Для второго интеграла имеем:

$\underset{Q}{}(\overrightarrow{u},\nabla )\left(\overrightarrow{u}-{\overrightarrow{u}}_{N_k}\right)\cdot \overrightarrow{\psi }dQ\to 0$ при $k\to \infty$,

в силу слабой сходимости $\nabla u_{N_k}$ в $L_2\left(Q\right)$.

Возьмем набор функций ${\alpha }_i\left(t\right)\in C\left(\left[\mathrm{0,}T\right]\right)$, $c_i\left(t\right)\in C\left(\left[\mathrm{0,}T\right]\right)$, умножим соответствующие равенства (50) с $N=N_k$ на эти функции, просуммируем результат по $i$ от 1 до $n(n\le N_k)$ и проинтегрируем полученные равенства по $t$. В результате имеем:

$\underset{0}{\overset{T}{}}({\overrightarrow{u}}_{N_k}-{\overrightarrow{w}}_{N_k},\nabla \phi )dt=$

$\mathrm{0,} \underset{0}{\overset{T}{}}a\left({\overrightarrow{u}}_{N_k},\overrightarrow{\psi }\right)dt=\underset{0}{\overset{T}{}}(\overrightarrow{f},\overrightarrow{\psi })dt,$ (62)

где $\overrightarrow{\psi }=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{c}_i{\psi }_i$ и $\phi =\underset{i=1}{\overset{n}{}}{\alpha }_i{\phi }_i$.

Рассмотрим последовательно все слагаемые. По уже доказанному мы можем перейти к пределу в первом равенстве и получим предельное равенство:

$\underset{0}{\overset{T}{}}(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \phi )dt=\mathrm{0,}$

$\overrightarrow{w}=\tau \left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{u}+\frac{1}{\rho }\nabla p-\overrightarrow{f}\right).$(63)

Во втором равенстве мы рассмотрим только нелинейные слагаемые, поскольку в линейной части переход осуществляется за счет слабой сходимости.

Возьмем слагаемое:

$J_{N_k}=\underset{0}{\overset{T}{}}(\left({\overrightarrow{u}}_{N_k}-{\overrightarrow{w}}_{N_k},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },{\overrightarrow{u}}_{N_k})dt.$

Покажем что $J_{N_k}\to J=\underset{0}{\overset{T}{}}(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u})dt$.

Составим разность:

$J_{N_k}-J=\underset{0}{\overset{T}{}}\left(\right({\overrightarrow{u}}_{N_k}-{\overrightarrow{w}}_{N_k},\nabla )\overrightarrow{\psi },$ ${\overrightarrow{u}}_{N_k}-\overrightarrow{u})dt+$

$\underset{0}{\overset{T}{}}\left(\left({\overrightarrow{u}}_{N_k}-{\overrightarrow{w}}_{N_k},\nabla \right)\overrightarrow{\psi }\right),\overrightarrow{u})dt$

Второй интеграл стремится к нулю в силу слабой сходимости, а для первого интеграла имеем оценку

$\left|\underset{0}{\overset{T}{}}\right(\left({\overrightarrow{u}}_{N_k}-{\overrightarrow{w}}_{N_k},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },{\overrightarrow{u}}_{N_k}-\overrightarrow{u})$

$dt|\le c\parallel {\overrightarrow{u}}_{N_k}-\overrightarrow{u}{\parallel }_{L_2\left(Q\right)}\to 0$ при $k\to \infty$,

Аналогично показываем, что

$\underset{0}{\overset{T}{}}(\left({\overrightarrow{u}}_{N_k},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },{\overrightarrow{w}}_{N_k})dt\to \underset{0}{\overset{T}{}}(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{w})dt$

при $k\to \infty$. Переходя к пределу

при $k\to \infty$, придем к тому, что выполнено интегральное тождество

$\underset{0}{\overset{T}{}}(\frac{\partial \overrightarrow{u}}{\partial t},\overrightarrow{\psi })-\left(\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{u}\right)+\frac{1}{\rho }\left(\nabla p,\overrightarrow{\psi }\right)-$

$\mu \left(\nabla \overrightarrow{u},\nabla \overrightarrow{\psi }\right)+\mu \left(div\overrightarrow{u},div\overrightarrow{\psi }\right)+$

$\left(\left(\overrightarrow{u},\nabla \right)\overrightarrow{\psi },\overrightarrow{w}\right)dt=\in t_0^T\left(\overrightarrow{f},\overrightarrow{\psi }\right)dt$

В силу базисности выбранных функций ${\phi }_i$, ${\overrightarrow{\psi }}_i$ мы получим, что $u$ есть обобщенное решение задачи. Доказательство последнего утверждения теоремы, т. е. включений $\nabla p,\left(u,\nabla u\right)u\in L_{q_0}\left(\mathrm{0,}T;L_{p_0}\left(G\right)\right)$ для любого $p_0\in \left[\mathrm{1,3}/2\right]$, мы фактически уже провели в первой половине доказательства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

В работе рассмотрена разрешимость первой начально-краевой задачи для квазигидродинамической системы уравнений в случае слабосжимаемой жидкости. Доказана теорема существования обобщенных решений. Доказательство было основано на методе Галеркина с использованием априорных оценок.