Исследование конформно киллинговых векторных полей на пятимерных 2-симметрических лоренцевых многообразиях
- Авторы: Андреева Т.А.1, Оскорбин Д.Н.1, Родионов Е.Д.1
-
Учреждения:
- Алтайский государственный университет
- Выпуск: Том 17, № 1 (2021)
- Страницы: 17-22
- Раздел: Геометрические методы в математическом моделировании
- URL: https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/90766
- DOI: https://doi.org/10.17816/byusu20210117-22
- ID: 90766
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Конформно киллинговы поля играют важную ролъ в теории солитонов Риччи, а, так- эісе порождают важный класс локально конформно однородных (псевдо)римановых многообразий. В римановом случае В. В. Славским, и Е. Д. Родионовым, было доказано, что такие пространства, являются, либо конформно плоскими, либо конформно эквивалентны локально однородным, римановым многообразиям. В псевдоримановом случае вопрос их строения, остается, открытым,. Псевдоримановы симметрические пространства, порядка, к, где к > 2, играют важную роль в исследованиях по псевдоримановой геометрии. В настоящее время они исследованы в случаях к=2, 3 Д. В. Алексеевским, А. С. Галаевым, и другими. Для, произвольного к известны нетривиальные примеры таких пространств: обобщенные многообразия Кахена-Уоллаха. В случае малых размерностей эти пространства, и векторные поля, Киллинга, па, них изучались Д. Н. Оскорбипым,, Е. Д. Родионовым, и И. В. Эрнстом, с помощью систем, компьютерной математики. В данной работе с помощью СКМ Sagemath исследованы конформно киллинговы векторные поля, па, пятимерных неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях, построен алгоритм, для, их вычисления.
Полный текст
1. Обозначения и факты.
Определение. Псевдоримановым многообразием называется гладкое многообразие М, накотором задан гладкий невырожденный симметричный метрический тензор д. Если метрический тензор имеет сигнатуру (1, n — 1), то (М, g) называется лоренцевым многообразием.
Определение. Псевдориманово многообразие (М, g) называется симметрическим порядка k, если
где к ≥ 1 и R — тензор кривизны (М,g), а — связность Леви-Чивиты.
Для римаповых многообразий из условия kR=0 вытекает R=0, Однако лорепцевы k-симметрические пространства существуют при всех k ≥ 2.
Локально неразложимые 1-симметрические лоренцевы многообразия описаны Кахеном и Уоллахом в [1], 2-симметрические лоренцевы многообразия исследованы в работах [2, 3, 4]. Отметим, что они являются многообразиями Уокера [5, 6].
Определение. Гладкое векторное поле К на (псевдо)римаповом многообразии (ℳ, g) называется полем, Киллипга, если выполняется равенство
Lkg=0, (1)
где LKg — производная Ли метрического тензора вдоль поля К.
Определение. Гладкое векторное поле К на(псевдо)римаповом многообразии (ℳ, g) называется конформно киллинговым векторным полем, если выполняется равенство
LKg=f(p)g, (2)
где LKg — производная Ли метрического тензора вдоль поля К, р ℳ, a f(p) — гладкая вещественная функция намногообразии.
Из теоремы By (см. [7]) следует, что любое лоренцево многообразие локально может быть представлено в виде прямого произведения некоторого риманова многообразия (ℳ1, ɡ1) и локально неразложимого лоренцева многообразия (ℳ2, ɡ2). Все рассматриваемые далее лоренцевы многообразия предполагаются локально неразложимыми.
С помощью теоремы А.С. Галаева и Д.В. Алексеевского (см. [2]) можно выбрать систему локальных координат (v, x1, x2, x3, и) на ℳ, где (ℳ, ɡ) — неразложимое лоренцево пятимерное многообразие, такую, что:
ɡ=2dudv +(dxi)2 + (H110(x1)2+ 2H120x1x2 + 2H130 x1 x3 + H220(x2)2+ 2H230 x2 x3 + H330(х3)2 + , (3)
где Нii1 — ненулевые действительные числа, а Нij0 — произвольные константы.
2. Основной алгоритм.
В решении задачи о нахождении общего решения уравнения конформно киллингова поля напятимерных локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях можно выделить следующие основные этапы:
Исследование конформно киллинговых векторных полей на пятимерных 2-симметрических Лоренцевых многообразиях
- запись уравнения Lxɡ=f(p)ɡ для определения комфорно киллипгова поля в локальных координатах Д.В. Алексеевского - А.С. Галаева;
- нахождение частного решения уравнения Lxɡ=f(p)ɡ;
- построение общего решения с помощью уравнения для нахождения полей Киллинга.
Более подробно:
1) Уравнение конформно киллингова векторного поля в локальных координатах напятимерном 2-симметрическом неразложимом лоренцевом многообразии с метрикой (3) примет вид системы дифференциальных уравнений (4)
где Нii1 — ненулевые действительные числа, Нij0 — произвольные константы, а V(v, x1, x2, x3, u), Хi (v, x1, x2, x3, u), U(v, x1, x2, x3, u) — компоненты векторного поля К (i=1,2,3).
2) Для системы уравнений (4) построим частное решение.
Теорема 1. Векторное поле
где с, f — некоторые постоянные, на 2-симмстричсском пятимерном неразложимом лоренцевом многообразии М с метрикой (3) является конформно киллинговым.
Доказательство. В локальных координатах Д.В. Алексеевского - А.С. Галаева проверим справедливость системы уравнений (4) для поля K.
Все уравнения, кроме последнего, очевидно, выполнены, последнее уравнение выполнено, так как после подстановки значений V, Xi, U и раскрытия всех скобок мы получаем:
Теорема доказана.
3) Имеет место
Лемма. Пусть (ℳ, ɡ) - (псевдо) риманово многообразие, К, Р - конформно киллинговы векторные поля на М с константой f R. Тогда К — Р есть векторное поле Киллинга на ℳ.
Доказательство. Действительно, вычитая почленно из равенства LKɡ=fɡ равенство LKɡ=fɡ получаем LK-Pɡ=0.
Следствие. В условиях теоремы 1 пространство конформно киллинговых векторных полей может быть построено с помощью частного решения конформно киллингова уравнения и пространства полей Киллинга.
Отметим, что неразложимые 2-симмстричсскис лоренцевы многообразия являются пространствами Кахспа-Уоллаха СWdn+2 при d=1, киллиyговы векторные поля накоторых изучались в работе [8]. Была доказана
Теорема 2.
Пусть X — векторное поле Киллинга с координатами
V(v, x1...,xп, и), Xj, U(v, x1..., xп, и) (V,Xj, U — гладкие функции), наобобщенном многообразии Кахена-Уоллаха (СWdn+2)+2, ɡ) размерности п+2>4, с метрикой
где aij(u)=Hij0 + Hij1 u
Общее решение уравнения Киллиyга имеет вид:
где с - произвольная константа, функции bi(и) определяются системой дифференциальных уравнений = aij(u)bj(u), (fik) — постоянная кососимметричная матрица, коммутирующая с А=(аij). Размерность пространства полей Киллинга по меньше 2n+1 и не больше
Таким образом, используя следствие леммы, теорему 2 при п=3, d=1 и утверждение теоремы 1, получим.
Теорема 3. Пусть X — конформно киллингово векторное поле с координатами V(v, x1, x2, x3, и), Хi(v, x1, x2, x3, и), Uкоординат (v, x1, x2, x3, и) (V, Xj,U — гладкие функции), на 2-симмстричсском пятимерном неразложимом лоренцевом многообразии ℳ с локально
допустимой метрикой (3). Общее решение уравнения конформно киллингова поля имеет вид:
где с - произвольная константа, функции bі(и) определяются системой дифференциальных уравнений bі(и)=aij(u)bj(u), (fik) — постоянная кососимметричная матрица, коммутирующая с А=(аij), где аij(и)=Нij0 + Нij0 и. Размерность пространства полей Киллиyга не меньше 8 и не больше 11.
Замечание. Поля Киллинга на2-симметрических многообразиях размерности 4, 5 и 6 рассматривались в работе [9]. Кроме того, заметим, что конформно-киллинговы векторные поля налоренцевых многообразиях до размерности 4 включительно рассматривались ранее, см., например, [10].
Заключение.
В результате проведенных исследований построен алгоритм для нахождения общего решения конформного аналога уравнения Киллинга напятимерных локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях, изучено строение группы локально конформных преобразований таких пространств. Данные исследования найдут приложения при изучении потока Риччи намногообразиях, различных обобщениях теории многообразий А.Эйнштейна, а разработанные функции для СКМ Sagemath применимы при изучении тензорных полей налорепцевых многообразиях малой размерности.
Об авторах
Татьяна Андреевна Андреева
Алтайский государственный университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: andreeva08t@mail.ru
Магистр кафедры математического анализа
Россия, БарнаулДмитрий Николаевич Оскорбин
Алтайский государственный университет
Email: oskorbin@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа
Россия, БарнаулЕвгений Дмитриевич Родионов
Алтайский государственный университет
Email: edr2002@mail.ru
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа
Россия, БарнаулСписок литературы
- Cahen, M. Lorentzian symmetric spaces / M. Cahen, X. Wallach // Bulletin of the American Mathematical Society. - 1970. - Vol. 76. - P. 585-591.
- Galaev, A. S. Two-symmetric Lorentzian manifolds / A. S. Galaev, D. V. Alexeevskii // Journal of Geometry and Physics. - 2011. - Vol. 61, .V 12. - P. 2331-2340.
- Blanco, O. F. Structure of second-order symmetric Lorentzian manifolds / O. F. Blanco, M. Sanchez, J. M. Senovilla // Journal of the European Mathematical Society. - 2013. - Vol. 15. - P. 595-634.
- Galaev, A. S. Holonomy groups of Lorentzian manifolds: classification, examples, and applications / A. S. Galaev, T. Leistner // European Mathematical Society. - 2008. - № 1. - P. 53-96.
- Walker, A. G. On parallel fields of partially null vector spaces / A. G. Walker // Quarterly Journal of Mathematics. - 1949. - Vol. 20. - P. 135-145.
- The geometry of Walker manifolds / M. Brozos-Vázquez, E. García-Río, P. Gilkey [et al.] // Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics. - 2009. - Vol. 2. - P. 1-179.
- Wu, H. On the de Ilham decomposition theorem / H. Wu // Illinois Journal of Mathematics. - 1964. - Vol. 8, Issue 2. - P. 291-311.
- Oskorbin, D. X. Ricci solitons and killing fields on generalized Cahen-Wallach manifolds / D. X. Oskorbin, E. D. Rodionov // Siberian Mathematical Journal. - 2019. - V. 60, .V 5. - P. 1165-1170.
- Оскорбин, Д. Н. О размерностях пространства полей Киллинга па 2-симмстричсских лоренцевых многообразиях / Д. Н. Оскорбин, Е. Д. Родионов, И. В. Эрнст. - Текст : непосредственный // Математические заметки СВФУ. - 2019. - Т. 26, 3. - С. 47-53.
- Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity / G. S. Hall. - Hackensack : World Scientific Publishing Co, 2004. - 430 p.