Investigation of conformally killing vector fields on 5-dimensional 2-symmetric lorentzian manifolds

Full Text

1. Обозначения и факты.

Определение. Псевдоримановым многообразием называется гладкое многообразие М, накотором задан гладкий невырожденный симметричный метрический тензор д. Если метрический тензор имеет сигнатуру (1, n — 1), то (М, g) называется лоренцевым многообразием.

Определение. Псевдориманово многообразие (М, g) называется симметрическим порядка k, если

$\nabla \mathrm{k}=0, \nabla \mathrm{k}-1\mathrm{R}=0,$

где к ≥ 1 и R — тензор кривизны (М,g), а $\nabla$ — связность Леви-Чивиты.

Для римаповых многообразий из условия $\nabla$^kR=0 вытекает $\nabla$R=0, Однако лорепцевы k-симметрические пространства существуют при всех k ≥ 2.

Локально неразложимые 1-симметрические лоренцевы многообразия описаны Кахеном и Уоллахом в [1], 2-симметрические лоренцевы многообразия исследованы в работах [2, 3, 4]. Отметим, что они являются многообразиями Уокера [5, 6].

Определение. Гладкое векторное поле К на (псевдо)римаповом многообразии (ℳ, g) называется полем, Киллипга, если выполняется равенство

L_kg=0,              (1)

где L_Kg — производная Ли метрического тензора вдоль поля К.

Определение. Гладкое векторное поле К на(псевдо)римаповом многообразии (ℳ, g) называется конформно киллинговым векторным полем, если выполняется равенство

L_Kg=f(p)g,        (2)

где L_Kg — производная Ли метрического тензора вдоль поля К, р $\in$ ℳ, a f(p) — гладкая вещественная функция намногообразии.

Из теоремы By (см. [7]) следует, что любое лоренцево многообразие локально может быть представлено в виде прямого произведения некоторого риманова многообразия (ℳ₁, ɡ₁) и локально неразложимого лоренцева многообразия (ℳ₂, ɡ₂). Все рассматриваемые далее лоренцевы многообразия предполагаются локально неразложимыми.

С помощью теоремы А.С. Галаева и Д.В. Алексеевского (см. [2]) можно выбрать систему локальных координат (v, x¹, x², x³, и) на ℳ, где (ℳ, ɡ) — неразложимое лоренцево пятимерное многообразие, такую, что:

ɡ=2dudv +$\sum _{i=1}^3 \left({\mathrm{dx}}^i\right)2$(dxⁱ)² + (H₁₁₀(x¹)²+ 2H₁₂₀x¹x² + 2H₁₃₀ x¹ x³ + H₂₂₀(x²)²+ 2H₂₃₀ x² x³ + H₃₃₀(х³)² + $\sum _{i=1}^3 {\left(x^i\right)}^2 u\mathit{ }{H}_{іi\mathit{1}}\mathit{ }\mathit{)}d{u}^{\mathit{2}}$,      (3)

где Н_ii1 — ненулевые действительные числа, а Н_ij0 — произвольные константы.

2. Основной алгоритм.

В решении задачи о нахождении общего решения уравнения конформно киллингова поля напятимерных локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях можно выделить следующие основные этапы:

Исследование конформно киллинговых векторных полей на пятимерных 2-симметрических Лоренцевых многообразиях

1. запись уравнения L_xɡ=f(p)ɡ для определения комфорно киллипгова поля в локальных координатах Д.В. Алексеевского - А.С. Галаева;
2. нахождение частного решения уравнения L_xɡ=f(p)ɡ;
3. построение общего решения с помощью уравнения для нахождения полей Киллинга.

Более подробно:

1) Уравнение конформно киллингова векторного поля в локальных координатах напятимерном 2-симметрическом неразложимом лоренцевом многообразии с метрикой (3) примет вид системы дифференциальных уравнений (4)

$\frac{1}{2} \frac{d{X}_1}{d{x}^2} +\frac{1}{2} \frac{d{X}_2}{d{x}^1} =0, 2\frac{dU}{dv} =0,$

$\frac{1}{2} \frac{d{X}_1}{d{x}^3} +\frac{1}{2} \frac{d{X}_3}{d{x}^1} =0, -f\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }2\frac{d{X}_{\mathit{j}}}{d{x}^{\mathit{i}}} =0,$

$\frac{1}{2} \frac{d{X}_2}{d{x}^3} +\frac{1}{2} \frac{d{X}_3}{d{x}^2} =0, \frac{dU}{d{v}^{\mathit{i}}} + \frac{1}{2} \frac{{\mathrm{dX}}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{dv}}=0,$

$\frac{1}{2} \sum _{i=1}^3 (H_{іi\mathit{1}}\mathit{ }\mathit{ }u\mathit{ }\mathit{ }{H}_{\mathit{і}\mathit{i}\mathit{0}}) {\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{i}}\right)}^2\frac{dU}{dv} + H_{120}{x}^1{x}^2\frac{\mathit{d}\mathit{U}}{\mathit{d}\mathit{v}}\mathit{+}\left(H_{130}{x}^1\frac{dU}{dv}+H_{130}{x}^{\mathrm{2}}\frac{dU}{dv}\right)x^{\mathit{3}}+2\mathrm{f} +\mathit{ }\frac{\mathit{d}\mathit{U}}{\mathit{d}\mathit{u}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\frac{\mathit{d}\mathit{V}}{\mathit{d}\mathit{v}}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }0,$

$\frac{1}{2} \sum _{i=1}^3 (H_{іi\mathit{1}}\mathit{ }\mathit{ }u\mathit{ }\mathit{ }{H}_{іi\mathit{0}}) {\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{i}}\right)}^2\frac{\mathit{d}\mathit{U}}{\mathit{d}{\mathit{x}}^{\mathit{j}}} + H_{120}{x}^1{x}^2\mathit{ }\frac{dU}{d{x}^{\mathit{j}}}\mathit{+}\mathit{(}{\mathit{H}}_{\mathit{130}}{\mathit{x}}^{\mathit{1}}\frac{\mathit{d}\mathit{U}}{\mathit{d}{\mathit{x}}^{\mathit{j}}}\mathit{+}{\mathit{H}}_{\mathit{230}}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\frac{\mathit{d}\mathit{U}}{\mathit{d}{\mathit{x}}^{\mathit{j}}}\mathit{)}{x}^{\mathit{3}}+\mathit{ }\frac{dV}{d{x}^{\mathit{j}}}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}\frac{d{X}_{\mathit{2}}}{du}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }0,$

$-\frac{1}{2} \sum _{i=1}^3 \left(2H_{іi\mathit{1}}\mathit{ }f\mathit{ }u\mathit{ }\mathit{2}{H}_{іi\mathit{0}}\mathit{ }f\mathit{-}{H}_{іi\mathit{1}\mathit{ }}U\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }\mathit{2}\mathit{(}{H}_{іi\mathit{1}}\mathit{ }u\mathit{ }{H}_{іi\mathit{0}}) \frac{dU}{du}\right){\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{i}}\right)}^2 +\left(\left((H_{\mathit{111}\mathit{ }}u\mathit{ }\mathit{+}{H}_{\mathit{110}}\right)X_{\mathit{1}}\mathit{+}{H}_{\mathit{120}\mathit{ }}{X}_{\mathit{2}}\mathit{+}{H}_{\mathit{130}}{X}_{\mathit{3}\mathit{ }}\mathit{-}\mathit{(}\mathit{2}\mathit{(}{\mathit{H}}_{\mathit{120}}\mathit{f}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }{\mathit{H}}_{\mathit{120}}\frac{\mathit{d}\mathit{U}}{\mathit{d}\mathit{u}}\mathit{)}{x}^{\mathit{1}}\mathit{ }\mathit{-}\mathit{ }{H}_{\mathit{120}}{X}_{\mathit{1}\mathit{ }}u\mathit{)}\mathit{ }\mathit{-} (H_{\mathit{221}}\mathit{ }u\mathit{ }\mathit{+}{H}_{\mathit{220}})X_{\mathit{2}}\mathit{-}{H}_{\mathit{230}\mathit{ }}{X}_{\mathit{3}}\right){\mathrm{x}}^2-$

$\mathit{-}\mathit{ }\left(2(H_{130} f - H_{130}\mathrm{ }\frac{dU}{du}\mathrm{)}{x}^{\mathrm{1}\mathrm{ }\mathrm{ }}\mathrm{+}\mathrm{2}\left(H_{230} f - H_{230 }{X}_{2 }-(H_{331} u + H_{330}\right)X_{\mathrm{3}}\right)x^{\mathit{3}}\mathit{+}\mathit{2}\frac{\mathit{d}\mathit{V}}{\mathit{d}\mathit{u}}\mathit{=}0$

где Н_ii1 — ненулевые действительные числа, Н_ij0 — произвольные константы, а V(v, x¹, x², x³, u),  Х_i (v, x¹, x², x³, u), U(v, x¹, x², x³, u) — компоненты векторного поля К (i=1,2,3).

2) Для системы уравнений (4) построим частное решение.

Теорема 1. Векторное поле

$\mathrm{K} =\mathit{ }\mathit{(}\mathit{2}fv\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }c\mathit{)}\mathit{ }\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}\mathit{v}}\mathit{ }\mathit{+}f{x}^{\mathit{1}}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}{\mathit{x}}^{\mathit{1}}}\mathit{+}f{x}^{\mathit{2}}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}}\mathit{+}\mathit{ }f{x}^{\mathit{3}}\frac{d}{d{x}^3}$

где с, f — некоторые постоянные, на 2-симмстричсском пятимерном неразложимом  лоренцевом многообразии М с метрикой (3) является конформно киллинговым.

Доказательство. В локальных координатах Д.В. Алексеевского - А.С. Галаева проверим справедливость системы уравнений (4) для поля K.

Все уравнения, кроме последнего, очевидно, выполнены, последнее уравнение выполнено, так как после подстановки значений V, Xi, U и раскрытия всех скобок мы получаем:

$—H_{111}\mathrm{f}{\left({\mathrm{x}}^1\right)}^2 \mathrm{u} -H_{110} \mathrm{f}{\left({\mathrm{x}}^1\right)}^2-H_{220} \mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^2\right)2 \mathrm{u}-H_{330}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}2\right)2 \mathrm{u} -H_{331}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^3\right)2 \mathrm{u}—H_{330}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^3\right)2 + H_{111}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^1\right)2\mathrm{u} + H_{110}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^1\right)2 + H_{120}{\mathrm{fx}}^1\mathrm{x}2 + H_{130}{\mathrm{x}}^1\mathrm{x}3 - 2H_{120}{\mathrm{fx}}^1\mathrm{x}2 + H_{120}{\mathrm{fx}}^1\mathrm{x}2 + H_{221}\mathrm{f}\left({\mathrm{x}}^2\right)2 \mathrm{u}+\mathrm{H}220 \mathrm{f} {\left({\mathrm{x}}^2\right)}^2+{\mathrm{H}}_{230}{\mathrm{fx}}^2{\mathrm{x}}^3-2H_{130} {\mathrm{fx}}^1{\mathrm{x}}^3 - 2H_{230}{\mathrm{fx}}^2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{H}}_{130}{\mathrm{x}}^1{\mathrm{x}}^3+ H_{230}{\mathrm{fx}}^2{\mathrm{x}}^3 + H331 \mathrm{f} \left({\mathrm{x}}^3\right){\mathrm{x}}^2 и\mathit{ }{H}_{330}\mathrm{f}{\left({\mathrm{x}}^3\right)}^2=0.$

Теорема доказана.

3) Имеет место

Лемма. Пусть (ℳ, ɡ) - (псевдо) риманово многообразие, К, Р - конформно киллинговы  векторные поля на М с константой  f $\in$ R. Тогда К — Р есть векторное поле Киллинга на ℳ.

Доказательство. Действительно, вычитая почленно из равенства L_Kɡ=fɡ равенство L_Kɡ=fɡ получаем L_K-Pɡ=0.

Следствие. В условиях теоремы 1 пространство конформно киллинговых векторных полей может быть построено с помощью частного решения конформно киллингова уравнения и пространства полей Киллинга.

Отметим, что неразложимые 2-симмстричсскис лоренцевы многообразия являются пространствами Кахспа-Уоллаха СW_dⁿ⁺² при d=1, киллиyговы векторные поля накоторых изучались в работе [8]. Была доказана

Теорема 2.

Пусть X — векторное поле Киллинга с координатами

V(v, x¹...,x^п, и), X_j, U(v, x¹..., x^п, и) (V,X_j, U — гладкие функции), наобобщенном многообразии Кахена-Уоллаха (СW_dⁿ⁺²)⁺², ɡ) размерности п+2>4, с метрикой

где a_ij(u)=H_ij0 + H_ij1 u

Общее решение уравнения Киллиyга имеет вид:

 

$\left\{\begin{array}{l}\\ \end{array}\begin{array}{r}\mathit{U}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{0}\\ {\mathit{X}}_{\mathit{i}}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }{\mathit{b}}_{\mathit{i}}\mathit{ }\mathit{\left(}\mathit{u}\mathit{\right)}\mathit{ }\mathit{+}\mathit{ }{\mathit{f}}_{\mathit{i}\mathit{k}}\mathit{ }{\mathit{x}}^{\mathit{k}}\mathit{,}\\ \mathit{V}\mathit{ }\mathit{=}\mathit{ }\mathit{-}{\mathit{b}}_{\mathit{i}}\mathit{ }\mathit{\left(}\mathit{u}\mathit{\right)}\mathit{ }{\mathit{x}}^{\mathit{i}}\mathit{+}\mathit{c}\end{array}\right.$

 

где с $\in \mathrm{ℝ}$ - произвольная константа, функции b_i(и) определяются системой дифференциальных уравнений $\ddot{{\mathit{b}}_{\mathit{i}}}\mathit{\left(}и\mathit{\right)}$ = a_ij(u)b_j(u), (f_ik) — постоянная кососимметричная матрица, коммутирующая с А=(а_ij). Размерность пространства полей Киллинга по меньше 2n+1 и не больше $2n\mathit{+}1+\frac{n\mathit{(}n\mathit{-}\mathit{1}\mathit{)}}{2}$

Таким образом, используя следствие леммы, теорему 2 при п=3, d=1 и утверждение теоремы 1, получим.

Теорема 3. Пусть X — конформно киллингово векторное поле с координатами V(v, x¹, x², x³, и), Х_i(v, x¹, x², x³, и), Uкоординат (v, x¹, x², x³, и)  (V, X^j,U — гладкие функции), на 2-симмстричсском пятимерном неразложимом лоренцевом многообразии ℳ с локально

допустимой метрикой (3). Общее решение уравнения конформно киллингова поля имеет вид:

 

$\left\{\begin{array}{r}U = 0,\\ Хі=b_{і}\left(и\right) + f_{ik}{x}^{{}_k}\mathit{+}f{x}^{\mathit{i}},\\ V=-b_{і}\left(и\right){х}^{{}_i}+2fv+c,\end{array}\right.$

 

где с $\in \mathrm{ℝ}$ - произвольная константа, функции b_і(и) определяются системой дифференциальных уравнений b_і(и)=a_ij(u)b_j(u), (f_ik) — постоянная кососимметричная матрица, коммутирующая с А=(а_ij), где а_ij(и)=Н_ij0 + Н_ij0 и. Размерность пространства полей Киллиyга не меньше 8 и не больше 11.

Замечание. Поля Киллинга на2-симметрических многообразиях размерности 4, 5 и 6 рассматривались в работе [9]. Кроме того, заметим, что конформно-киллинговы векторные поля налоренцевых многообразиях до размерности 4 включительно рассматривались ранее, см., например, [10].

Заключение.

В результате проведенных исследований построен алгоритм для нахождения общего решения конформного аналога уравнения Киллинга напятимерных локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях, изучено строение группы локально конформных преобразований таких пространств. Данные исследования найдут приложения при изучении потока Риччи намногообразиях, различных обобщениях теории многообразий А.Эйнштейна, а разработанные функции для СКМ Sagemath применимы при изучении тензорных полей налорепцевых многообразиях малой размерности.

About the authors

Tatiana A. Andreeva

Altai State University

Author for correspondence.
Email: andreeva08t@mail.ru

Master of the Department of Mathematical Analysis

Russian Federation, Barnaul

Dmitry N. Oskorbin

Altai State University

Email: oskorbin@yandex.ru

Candidate in Physics and Mathematics Sciences, Assistant professor of the Department of Mathematical

Russian Federation, Barnaul

Evgeny D. Rodionov

Altai State University

Email: edr2002@mail.ru

Doctor in Physics and Mathematics Sciences, Professor of the Department of Mathematical Analysis

Russian Federation, Barnaul

References

Supplementary files