Mathematical modeling in the study of semisymmetric connections on three-dimensional Lie groups with the metric of the Ricci soliton

Full Text

1.  Введение и основные результаты

Актуальным направлением в исследовании римановых многообразий малой размерности является математическое моделирование, создание и применение алгоритмов для нахождения тензорных полей па римановых многообразиях с целью изучения последних. В этом направлении известны многие результаты [1-12]. Целью данной работы является описание алгоритма, который позволит изучить вопрос о нахождении полусимметрических  связностей на трехмерных группах Ли с метрикой инвариантного солитона Риччи. В результате будет дана классификация данных связностей па трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантпой римановой метрикой солитона Риччи, а также показано, что в этом случае существуют нетривиальные инвариантные полусиметрические связности. Ранее авторами проводились аналогичные исследования в классе эйнштейновых метрик [13, 14]. Более подробно.

Пусть (М, g) — риманово многообразие. Определим па данном многообразии метрическую связность Δ с помощью формулы

$\nabla$_XY=$\nabla$⁹_XY + g(Х, Y)V - g(V, Y)X,

где V — некоторое фиксированное векторное поле, X и Y — произвольные векторные поля, $\nabla$⁹ — связность Леви-Чивиты. Связность $\nabla$ является одной из трех основных связностей, описанных Э. Картапом в [1], и называется метрической связностью с векторным кручением или полусимметрической связностью.

Класс метрических связностей, определяемых данным образом, содержит связность Леви-Чивиты и играет важную роль в исследованиях по римановой геометрии (см. [110]).

Тензор кривизны и тензор Риччи связности $\nabla$ определяются соответственно равенствами

$\mathrm{R}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})\mathrm{Z}=\nabla \mathrm{Y}\nabla \mathrm{XZ} - \nabla \mathrm{Y}\nabla \mathrm{XZ} +\nabla \mathrm{X},\mathrm{YZ}, \mathrm{r}(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=\mathrm{tr}(\mathrm{Z}\to \mathrm{R}(\mathrm{X}, \mathrm{Z}\left)\mathrm{Y}\right).$

Отметим, что, в отличие от случая связности Леви-Чивиты, в данном случае тензор Риччи не обязан быть симметричным. Однако верпа следующая теорема (см. [9, 10])

Теорема 1. Пусть (М, g) — (псевдо) риманово многообразие с полусимметрической связностью. Тензор Риччи является симметричным тогда и только тогда, когда 1-форма π, определяемая равенством n(X)=g(Х, V) для любого векторного поля X на М, замкнута, т.е. dn=0.

Определение 1. Метрика g полного риманова многообразие (М,g) называется солитоном Риччи, если опа удовлетворяет уравнению

r=Λg + L_Pg ,                (1)

где r — тензор Риччи метрики g, L_Pg — производная Ли метрики g по направлению полного дифференцируемого векторного поля Р, константа Λ  $\in \mathrm{ℝ}$. Если М=G/H — однородное пространство, то однородная риманова метрика, удовлетворяющая (2), называется однородным солитоном Риччи, а если М=G и поле Р левоинвариантно — инвариантным солитоном Риччи. Более того, инвариантный солитон Риччи называется тривиальным, если L_Pg(Y, Z)=τ·g(Y, Z) для некоторого τ $\in$ R, и любых Y, Z $\in$ g , где g — алгебра Ли группы Ли G.

Замечание. Векторное поле У неявно входит в уравнение (2), а в случае У=0 мы получаем классическое определение солитона Риччи. Заметим также, что производная Ли имеет вид: L_Pg(X,Y)=Рд(X,Y)+ g([X,Р],Y) + g(Х, [Y,Р]). Более того, если солитон Риччи инвариантен, то L_рg(Х,Y)=g([X,Р],Y) + g(Х,[Y,Р]) для произвольных инвариантных полей X и Y.

Отметим, что в случае связности Леви-Чивиты инвариантные солитоны Риччи исследовались в работах [11-12], где была доказана.

Теорема 2. Для любой конечномерной унимодулярпой группы Ли с левоинваринтной  римановой метрикой и связностью Леви-Чивиты все инвариантные солитоны Риччи тривиальны.

Замечание. В пеупимодулярном случае аналогичный результат до размерности четыре включительно получен П.Н. Клепиковым и Д.Н. Оскорбиным [12].

Определение 2. Полусимметрическая связность на римановом многообразии (М, g) называется тривиальной, если векторное поле V, определяющее эту связность, равно пулю.

Основным результатом данной работы является получение искомого алгоритма и доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. Пусть (G, g, $\nabla$) — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой д и полусимметрической связностью $\nabla$, отличной от связности Леви-Чивиты. Тогда среди таких групп Ли существуют группы и полусимметрические связности па них, допускающие нетривиальные инвариантные солитоны Риччи.

2.      Построение алгоритма

Пусть далее М = G группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, ꬶ — ее алгебра Ли. Фиксируем базис е₁,..., е_n левоинваринтных векторных полей в ꬶ и положим

[e_i, e_j]=c^k_ij e_k        g(e_i,e_j)=g_ij           c_ijs=c^k_ijg_ks,

где c^k_ij — структурные константы алгебры Ли, g_ij — компоненты метрического тензора.

Зафиксируем некоторое инвариантное векторное поле V, с помощью которого определим па G метрическую связность $\nabla$ с векторным кручением.

Тогда компоненты связности $\nabla$ определяются формулами

Г^k_ij =(Г^g )^k_ij + g_ij V^k - g_sj V^sδ^k_i

где (Г^g)^s_ij=$\frac{1}{2}$g^ks(c_ijk-c_jki+c_kij) — компоненты связности Леви-Чивита $\nabla$⁹, ||g^ks|| —матрица обратная к ||g_ks||, δ^k_i — символ Кронекера.

Аналогично общему случаю определим тензор кривизны R и тензор Риччи r. В базисе e₁,..., е_n их компоненты соответственно есть

R_ijks=(Г^l_ikГ^p_il - Г^l_jk Г^p_il ) g_ps, r_ik=R_ijksg^is

Пусть P— левоинвариантное векторное поле. Тогда (1) можно переписать в терминах структурных констант алгебры Ли

r_ij=Λg_іj - Р^k (c^s_kig_sj + c^s_kjg_si ) , (2)

где r_ij — компоненты тензора Риччи, Λ $\in \mathrm{ℝ}$, g_ij — компоненты метрического тензора, Р^k координаты левоинвариантного векторного поля, c^k_ij — структурные константы алгебры Ли д.

Пусть (G, ꬶ, V) задана метрической группой Ли G с алгеброй Ли д и векторным полем V, определяющим связность. Справедливо следующее утверждение

Лемма 1. Если метрическая группа Ли (G, ꬶ, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в некотором базисе {е_і,..., е_n} алгебры Ли ꬶ выполняется соотношение

Vⁱg_ijcⁱ_kt=0 (3)

или в инвариантной форме

g(Ѵ,[А,Y])=0,    ⱯX,Y $\in$ ꬶ

Здесь cⁱ_kt — структурные константы алгебры ꬶ, определяемые разложением [e_k, e_t]=c^j_kt e_j.

Доказательство. Если (G, ꬶ, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в силу (1) тензор Риччи должен быть симметричен. Тогда по теореме 1 необходимо dπ=0, т.е. для произвольных векторных полей X,Y $\in$ ꬶ выполняется

А, У)=АДТ

2dπ(X, Y)=Xn(Y) - Yπ(X) - π([X, Y])=-2n([X, Y])=-2g ([X, Y], V)=0.

Фиксируя некоторый базис {е_і,...е_n} в алгебре Ли ꬶ, из данного равенства получаем (3)

Лемма 2. Инвариантный солитон Риччи тривиален тогда и только, когда выполняется

P^k(c^s_kiSg_sj + c^s_kjSg_si)=τg_ij

следующая классификация для трехмерных метрических групп Ли была получена Дж. Милнором в [15].

Теорема 4. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда в алгебре Ли группы G существует ортонормированный базис {е₁, е₂, е₃} такой, что:

[е₁, е₂]=α₃е₃, [е₁, е₃]=-α₂ е₂, [е₂, е₃]=α₁ е₁.

3. Доказательство теоремы

В данном разделе для доказательства теоремы 3 рассмотрим систему уравнений (2) для определения инвариантных солитонов Риччи, систему уравнений (3) для определения симметричности тензора Риччи, а также систему уравнений (4) для определения тривиальности солитона Риччи. Заметим, что в силу тензорного вида левой и правой частей уравнения (3) все вычисления достаточно провести для базиса Дж.Милнора. Рассуждения проведем для унимодулярной группы Ли G. что будет достаточным для доказательства теоремы 3.

Условие (3) имеет вид V¹α₁=0, Ѵ²α₂=0, Ѵ³α₃=0, поэтому имеет место один из следующих случаев

(i) Ѵ=(0,0,0):

(ii) V=(V¹, 0, 0) и α₁=0:

(iii) V=(0, V², 0) и α₂=0;

(іѵ) V=(0, 0, V³) и α₃=0:

(ѵ) V=(V¹, V², 0) и α₁=0, α₂=0;

(ѵі) V=(0, V², V³) и  α₂=0, α₃=0;

(ѵіі) V=(V¹,0, V³) и α₁=0, α₃=0:

(ѵііі) V=(V¹, V², V³) и α₁=0, α₂=0, α₃=0.

С точностью до переобозначения базисных векторов интерес представляют только случаи (і), (іі), (ѵ) и (ѵііі).

(I) В данном случае вектор V тривиален и полусимметрическая связность является связностью Леви-Чивиты. При этом решениями системы уравнений (2) являются следующие тривиальные солитоны

Λ=½α²₃, τ=0, α₁₌α₂=α₃ $\in \mathrm{ℝ}$, V=(0, 0, 0), Р=(Р¹, Р², Р³).

Λ=0, τ=0, α₁= 0, α₂=α₃ $\in \mathrm{ℝ}$, V=(0, 0,0), Р=(Р¹, 0, 0).

Λ=0, τ=0, α₁= α₃ $\in \mathrm{ℝ}$, α₂=0 V=(0, 0, 0), Р=(0, Р², 0).

Λ=0, τ=0, α₁= α₂ $\in \mathrm{ℝ}$, α₃=0, V=(0, 0, 0), Р=(0, 0, Р³).

(II) В этом случае V=(V¹, 0,0), V≠ 0 и α₁=0. Тогда системы уравнений (2) и (4) примут вид

½ V¹(α₂ - α₃) = Р¹(α₂ - α₃),

½ (α²₂ - α²₃) - (V1)² = Λ2,

½ (α²₃ - α²₂) - (V1)² = Λ2,             (5)

½ (α₂ - α₃)² = -Λ,

0 = P²α₃,

0 = Р³α₂,

0 = τ,

и

Р¹(α₂ - α₃) = 0,  Р²α₃ = 0,  Р³α₂ = 0.

Решением системы равенств (5) является

Λ=-(V¹)², τ =0, α₁ = 0, α₂ = -α₃, α₃ = $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}{V}^1$, V = (V¹,0,0), P= $\left(\frac{V^{-1}}{2}, 0, 0\right)$.

Очевидно, что оно не удовлетворяет (6), поскольку в рассматриваемом случае V¹ ≠ 0. Таким образом, найденный солитон нетривиален.

(III) и (IV) Данные случаи рассматриваются аналогично (іі). Соответствующие нетривиальные солитоны имеют вид

1. Λ = -(Ѵ²)², α₁=-α₃, α₃=$\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$Ѵ², α₂=τ=0, V=(0, V², 0), $Р=(0,\frac{V^{\mathit{2}}}{2}, 0)$;
2. Λ =-(V³)², α₁=- α₂, α₂= $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$V³, α₃=τ=0, V=(0, 0, V³), $Р=(0, 0, \frac{V^3}{2})$:

где V² ≠ 0 и V³ ≠ 0 соответственно.

(V) Пусть теперь V=(V¹, V², 0), Ѵ¹Ѵ² ≠ 0 и α₁=0, α₂=0. Тогда система уравнений (2) примет вид

½Ѵ ¹α₃ =Р¹α₃,

½Ѵ²α₃=Р¹α₃,

Ѵ¹Ѵ²⁼0

½ α²₃(Ѵ¹)²-(V²)²=Λ,

½ α²₃+(Ѵ¹)²=-Λ,

½ α²₃+(Ѵ²)²=-Λ,

0 = τ.

Данная система равенств не имеет решений, поскольку в рассматриваемом случае Ѵ¹Ѵ² ≠ 0.

(VI) и (VII) Рассуждениями аналогичными (ѵ), заключаем что в данных случаях инвариантных солитонов Риччи не существует.

(VIII) Пусть теперь Ѵ=(Ѵ¹, Ѵ², Ѵ³) Ѵ ¹Ѵ²Ѵ³ ≠ 0 и α = τ = 0, α₂ = 0, α₃ = 0.

Тогда системы уравнений (2) примет вид Ѵ²Ѵ³ = 0, Ѵ¹Ѵ³ = 0, Ѵ¹Ѵ² = 0, (Ѵ¹)² + (Ѵ²)² = -Λ, (Ѵ¹)² + (Ѵ³)² = -Λ, (Ѵ²)² + (Ѵ³)² = -Λ, 0 = τ.

Данная система равенств не имеет решений, поскольку в рассматриваемом случае Ѵ¹Ѵ²Ѵ³ ≠ 0.

Заключение.

В работе изучен класс полусимметрических метрических связностей, которые включают в себя связность Леви-Чивиты и порождают обобщение теории солитонов Риччи, а также общей теории относительности А. Эйнштейна. Построена математическая модель для изучения полусимметрических связностей па трехмерных группах Ли с метрикой инвариантного солитона Риччи. Данная математическая модель допускает реализацию в средах универсальных математических систем и может быть использована для изучения метрических связностей па группах Ли малой размерности (см., например, [16, 17]).

About the authors

Pavel N. Klepikov

Altai State University

Author for correspondence.
Email: klepikov.math@gmail.com

Lecturer of the Department of Mathematical Analysis

Russian Federation, Barnaul

Evgeny D. Rodionov

Altai State University

Email: edr2002@mail.ru

Doctor in Physics and Mathematics Sciences, Professor of the Department of Mathematical Analysis

Russian Federation, Barnaul

Olesya P. Khromova

Altai State University

Email: khromova.olesya@gmail.com

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of the Department of Mathematical

Russian Federation, Barnaul

References

Supplementary files