Математическое моделирование при исследовании полусимметрических связностей на трехмерных группах Ли с метрикой солитона Риччи
- Авторы: Клепиков П.Н.1, Родионов Е.Д.1, Хромова О.П.1
-
Учреждения:
- Алтайский государственный университет
- Выпуск: Том 17, № 1 (2021)
- Страницы: 23-29
- Раздел: Геометрические методы в математическом моделировании
- URL: https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/90767
- DOI: https://doi.org/10.17816/byusu20210123-29
- ID: 90767
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Полусимметрические связности впервые открыты Э. Картаном и являются, естественным обобщением, связности Леви-Чивиты. Свойства параллельного переноса, таких связностей и основные тензорные поля, исследовались П.Агриколой, К.Яно и другими математиками. В настоящей работе построена, математическая модель для, изучения, полусимметрических связностей на, трехмерных группах Ли с метрикой инвариантного солитона, Риччи. Получена, классификация, данных связностей на, трехмерных унимоду- лярных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой солитона, Риччи. Доказано, что в этом, случае существуют нетривиальные инвариантные полусиметрические связности. Ранее авторами проводились аналогичные исследования в классе эйнштейновых метрик.
Полный текст
1. Введение и основные результаты
Актуальным направлением в исследовании римановых многообразий малой размерности является математическое моделирование, создание и применение алгоритмов для нахождения тензорных полей па римановых многообразиях с целью изучения последних. В этом направлении известны многие результаты [1-12]. Целью данной работы является описание алгоритма, который позволит изучить вопрос о нахождении полусимметрических связностей на трехмерных группах Ли с метрикой инвариантного солитона Риччи. В результате будет дана классификация данных связностей па трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинвариантпой римановой метрикой солитона Риччи, а также показано, что в этом случае существуют нетривиальные инвариантные полусиметрические связности. Ранее авторами проводились аналогичные исследования в классе эйнштейновых метрик [13, 14]. Более подробно.
Пусть (М, g) — риманово многообразие. Определим па данном многообразии метрическую связность Δ с помощью формулы
XY=9XY + g(Х, Y)V - g(V, Y)X,
где V — некоторое фиксированное векторное поле, X и Y — произвольные векторные поля, 9 — связность Леви-Чивиты. Связность является одной из трех основных связностей, описанных Э. Картапом в [1], и называется метрической связностью с векторным кручением или полусимметрической связностью.
Класс метрических связностей, определяемых данным образом, содержит связность Леви-Чивиты и играет важную роль в исследованиях по римановой геометрии (см. [110]).
Тензор кривизны и тензор Риччи связности определяются соответственно равенствами
Отметим, что, в отличие от случая связности Леви-Чивиты, в данном случае тензор Риччи не обязан быть симметричным. Однако верпа следующая теорема (см. [9, 10])
Теорема 1. Пусть (М, g) — (псевдо) риманово многообразие с полусимметрической связностью. Тензор Риччи является симметричным тогда и только тогда, когда 1-форма π, определяемая равенством n(X)=g(Х, V) для любого векторного поля X на М, замкнута, т.е. dn=0.
Определение 1. Метрика g полного риманова многообразие (М,g) называется солитоном Риччи, если опа удовлетворяет уравнению
r=Λg + LPg , (1)
где r — тензор Риччи метрики g, LPg — производная Ли метрики g по направлению полного дифференцируемого векторного поля Р, константа Λ . Если М=G/H — однородное пространство, то однородная риманова метрика, удовлетворяющая (2), называется однородным солитоном Риччи, а если М=G и поле Р левоинвариантно — инвариантным солитоном Риччи. Более того, инвариантный солитон Риччи называется тривиальным, если LPg(Y, Z)=τ·g(Y, Z) для некоторого τ R, и любых Y, Z g , где g — алгебра Ли группы Ли G.
Замечание. Векторное поле У неявно входит в уравнение (2), а в случае У=0 мы получаем классическое определение солитона Риччи. Заметим также, что производная Ли имеет вид: LPg(X,Y)=Рд(X,Y)+ g([X,Р],Y) + g(Х, [Y,Р]). Более того, если солитон Риччи инвариантен, то Lрg(Х,Y)=g([X,Р],Y) + g(Х,[Y,Р]) для произвольных инвариантных полей X и Y.
Отметим, что в случае связности Леви-Чивиты инвариантные солитоны Риччи исследовались в работах [11-12], где была доказана.
Теорема 2. Для любой конечномерной унимодулярпой группы Ли с левоинваринтной римановой метрикой и связностью Леви-Чивиты все инвариантные солитоны Риччи тривиальны.
Замечание. В пеупимодулярном случае аналогичный результат до размерности четыре включительно получен П.Н. Клепиковым и Д.Н. Оскорбиным [12].
Определение 2. Полусимметрическая связность на римановом многообразии (М, g) называется тривиальной, если векторное поле V, определяющее эту связность, равно пулю.
Основным результатом данной работы является получение искомого алгоритма и доказательство следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть (G, g, ) — трехмерная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой д и полусимметрической связностью , отличной от связности Леви-Чивиты. Тогда среди таких групп Ли существуют группы и полусимметрические связности па них, допускающие нетривиальные инвариантные солитоны Риччи.
2. Построение алгоритма
Пусть далее М = G группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой, ꬶ — ее алгебра Ли. Фиксируем базис е1,..., еn левоинваринтных векторных полей в ꬶ и положим
[ei, ej]=ckij ek g(ei,ej)=gij cijs=ckijgks,
где ckij — структурные константы алгебры Ли, gij — компоненты метрического тензора.
Зафиксируем некоторое инвариантное векторное поле V, с помощью которого определим па G метрическую связность с векторным кручением.
Тогда компоненты связности определяются формулами
Гkij =(Гg )kij + gij Vk - gsj Vsδki
где (Гg)sij=gks(cijk-cjki+ckij) — компоненты связности Леви-Чивита 9, ||gks|| —матрица обратная к ||gks||, δki — символ Кронекера.
Аналогично общему случаю определим тензор кривизны R и тензор Риччи r. В базисе e1,..., еn их компоненты соответственно есть
Rijks=(ГlikГpil - Гljk Гpil ) gps, rik=Rijksgis
Пусть P— левоинвариантное векторное поле. Тогда (1) можно переписать в терминах структурных констант алгебры Ли
rij=Λgіj - Рk (cskigsj + cskjgsi ) , (2)
где rij — компоненты тензора Риччи, Λ , gij — компоненты метрического тензора, Рk координаты левоинвариантного векторного поля, ckij — структурные константы алгебры Ли д.
Пусть (G, ꬶ, V) задана метрической группой Ли G с алгеброй Ли д и векторным полем V, определяющим связность. Справедливо следующее утверждение
Лемма 1. Если метрическая группа Ли (G, ꬶ, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в некотором базисе {еі,..., еn} алгебры Ли ꬶ выполняется соотношение
Vigijcikt=0 (3)
или в инвариантной форме
g(Ѵ,[А,Y])=0, ⱯX,Y ꬶ
Здесь cikt — структурные константы алгебры ꬶ, определяемые разложением [ek, et]=cjkt ej.
Доказательство. Если (G, ꬶ, V) удовлетворяет уравнению солитона Риччи, то в силу (1) тензор Риччи должен быть симметричен. Тогда по теореме 1 необходимо dπ=0, т.е. для произвольных векторных полей X,Y ꬶ выполняется
А, У)=АДТ
2dπ(X, Y)=Xn(Y) - Yπ(X) - π([X, Y])=-2n([X, Y])=-2g ([X, Y], V)=0.
Фиксируя некоторый базис {еі,...еn} в алгебре Ли ꬶ, из данного равенства получаем (3)
Лемма 2. Инвариантный солитон Риччи тривиален тогда и только, когда выполняется
Pk(cskiSgsj + cskjSgsi)=τgij
следующая классификация для трехмерных метрических групп Ли была получена Дж. Милнором в [15].
Теорема 4. Пусть G — трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой. Тогда в алгебре Ли группы G существует ортонормированный базис {е1, е2, е3} такой, что:
[е1, е2]=α3е3, [е1, е3]=-α2 е2, [е2, е3]=α1 е1.
3. Доказательство теоремы
В данном разделе для доказательства теоремы 3 рассмотрим систему уравнений (2) для определения инвариантных солитонов Риччи, систему уравнений (3) для определения симметричности тензора Риччи, а также систему уравнений (4) для определения тривиальности солитона Риччи. Заметим, что в силу тензорного вида левой и правой частей уравнения (3) все вычисления достаточно провести для базиса Дж.Милнора. Рассуждения проведем для унимодулярной группы Ли G. что будет достаточным для доказательства теоремы 3.
Условие (3) имеет вид V1α1=0, Ѵ2α2=0, Ѵ3α3=0, поэтому имеет место один из следующих случаев
(i) Ѵ=(0,0,0):
(ii) V=(V1, 0, 0) и α1=0:
(iii) V=(0, V2, 0) и α2=0;
(іѵ) V=(0, 0, V3) и α3=0:
(ѵ) V=(V1, V2, 0) и α1=0, α2=0;
(ѵі) V=(0, V2, V3) и α2=0, α3=0;
(ѵіі) V=(V1,0, V3) и α1=0, α3=0:
(ѵііі) V=(V1, V2, V3) и α1=0, α2=0, α3=0.
С точностью до переобозначения базисных векторов интерес представляют только случаи (і), (іі), (ѵ) и (ѵііі).
(I) В данном случае вектор V тривиален и полусимметрическая связность является связностью Леви-Чивиты. При этом решениями системы уравнений (2) являются следующие тривиальные солитоны
Λ=½α23, τ=0, α1=α2=α3 , V=(0, 0, 0), Р=(Р1, Р2, Р3).
Λ=0, τ=0, α1= 0, α2=α3 , V=(0, 0,0), Р=(Р1, 0, 0).
Λ=0, τ=0, α1= α3 , α2=0 V=(0, 0, 0), Р=(0, Р2, 0).
Λ=0, τ=0, α1= α2 , α3=0, V=(0, 0, 0), Р=(0, 0, Р3).
(II) В этом случае V=(V1, 0,0), V≠ 0 и α1=0. Тогда системы уравнений (2) и (4) примут вид
½ V1(α2 - α3) = Р1(α2 - α3),
½ (α22 - α23) - (V1)2 = Λ2,
½ (α23 - α22) - (V1)2 = Λ2, (5)
½ (α2 - α3)2 = -Λ,
0 = P2α3,
0 = Р3α2,
0 = τ,
и
Р1(α2 - α3) = 0, Р2α3 = 0, Р3α2 = 0.
Решением системы равенств (5) является
Λ=-(V1)2, τ =0, α1 = 0, α2 = -α3, α3 = , V = (V1,0,0), P= .
Очевидно, что оно не удовлетворяет (6), поскольку в рассматриваемом случае V1 ≠ 0. Таким образом, найденный солитон нетривиален.
(III) и (IV) Данные случаи рассматриваются аналогично (іі). Соответствующие нетривиальные солитоны имеют вид
- Λ = -(Ѵ2)2, α1=-α3, α3=Ѵ2, α2=τ=0, V=(0, V2, 0), ;
- Λ =-(V3)2, α1=- α2, α2= V3, α3=τ=0, V=(0, 0, V3), :
где V2 ≠ 0 и V3 ≠ 0 соответственно.
(V) Пусть теперь V=(V1, V2, 0), Ѵ1Ѵ2 ≠ 0 и α1=0, α2=0. Тогда система уравнений (2) примет вид
½Ѵ 1α3 =Р1α3,
½Ѵ2α3=Р1α3,
Ѵ1Ѵ2=0
½ α23(Ѵ1)2-(V2)2=Λ,
½ α23+(Ѵ1)2=-Λ,
½ α23+(Ѵ2)2=-Λ,
0 = τ.
Данная система равенств не имеет решений, поскольку в рассматриваемом случае Ѵ1Ѵ2 ≠ 0.
(VI) и (VII) Рассуждениями аналогичными (ѵ), заключаем что в данных случаях инвариантных солитонов Риччи не существует.
(VIII) Пусть теперь Ѵ=(Ѵ1, Ѵ2, Ѵ3) Ѵ 1Ѵ2Ѵ3 ≠ 0 и α = τ = 0, α2 = 0, α3 = 0.
Тогда системы уравнений (2) примет вид Ѵ2Ѵ3 = 0, Ѵ1Ѵ3 = 0, Ѵ1Ѵ2 = 0, (Ѵ1)2 + (Ѵ2)2 = -Λ, (Ѵ1)2 + (Ѵ3)2 = -Λ, (Ѵ2)2 + (Ѵ3)2 = -Λ, 0 = τ.
Данная система равенств не имеет решений, поскольку в рассматриваемом случае Ѵ1Ѵ2Ѵ3 ≠ 0.
Заключение.
В работе изучен класс полусимметрических метрических связностей, которые включают в себя связность Леви-Чивиты и порождают обобщение теории солитонов Риччи, а также общей теории относительности А. Эйнштейна. Построена математическая модель для изучения полусимметрических связностей па трехмерных группах Ли с метрикой инвариантного солитона Риччи. Данная математическая модель допускает реализацию в средах универсальных математических систем и может быть использована для изучения метрических связностей па группах Ли малой размерности (см., например, [16, 17]).
Об авторах
Павел Николаевич Клепиков
Алтайский государственный университет
Автор, ответственный за переписку.
Email: klepikov.math@gmail.com
преподаватель кафедры математического анализа
Россия, БарнаулЕвгений Дмитриевич Родионов
Алтайский государственный университет
Email: edr2002@mail.ru
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа
Россия, БарнаулОлеся Павловна Хромова
Алтайский государственный университет
Email: khromova.olesya@gmail.com
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа
Россия, БарнаулСписок литературы
- Cartan, Е. Sur les variétes 'a connexion affine et la thëorie de la relativite generalisée (deuxiéme partie) / E. Cartan // Annales Scientifiques del École Xormale Supérieure. - 1925. - Vol. 42. - P. 17-88.
- Yano, K. On semi-symmetric metric connection / K. Yano // Revue Roumame de Math. Pure et Appliquees. 1970. - Vol. 15. - P. 1579-1586.
- Agricola, I. Manifolds with vectorial torsion / I. Agricola, M. Kraus // Differential Geometry and its Applications. 2016. - Vol. 46. - P. 130-147.
- Muniraja, G. Manifolds Admitting a Semi-Symmetric Metric Connection and a Generalization of Schur’s Theorem // International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. - 2008. - Vol. 25, Is. 3. - P. 1223-1232.
- Agricola, I. The Geodesics of Metric Connections with Vectorial Torsion / I. Agricola, C. Thier // Annals of Global Analysis and Geometry. - 2004. - Vol. 26. - P. 3211-332.
- Родионов, Е. Д. О секционной кривизне метрических связностей с векторным кручением / Е. Д. Родионов, В. В. Славский, О. П. Хромова. - Текст : непосредственный // Известия АлтГУ. - 2020. - № 1. - С. 124-127.
- Yilmaz, Н. В. On a Semi Symmetric Metric Connection with a Special Condition on a Riemannian Manifold / H. B. Yilmaz, F. O. Zengin, S. A. Uysal // European journal of pure and applied mathematics. - 2011. - Vol. 4, Is. 2. - P. 152-161.
- Zengin, F. O. Some vector fields on a riemannian manifold with semi-symmetric metric connection / F. O. Zengin, S. A. Demirbag, S. A. Uysal [et al] // Bulletin of the Iranian Mathematical Society. - 2012. - Vol. 38, Is. 2. - P. 479-490.
- Barua, B. Some properties of a semi-symmetric metric connection in a Riemannian manifold / B. Barua, A. Kr. Ray // Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. - 1985. - Vol. 16, Is. 7. - P. 736-740.
- De, U. C. Some properties of a semi-symmetric metric connection on a Riemannian manifold / U. C. De, В. K. De // Istanbul Universitesi Fen Fak?ltesi Mat. Der. - 1995. - Vol. 54. - P. 111-117.
- Di Cerbo, L. Generic properties of homogeneous Ricci solitons / L. Di Cerbo // Advances in Geometry. - 2014. - Vol. 14, Is. 2. - P. 225-237.
- Клепиков, П. H. Однородные инвариантные солитоны Риччи па четырёхмерных группах Ли / П. Н. Клепиков, Д. Н. Оскорбит - Текст : непосредственный // Известия АлтГУ. - 2015. - Т. 1, № 2. - С. 115-122.
- Клепиков, И. И. Уравнение Эйнштейна па трехмерных метрических группах Ли с векторным кручением / И. И. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. И. Хромова. - Текст : непосредственный // Итоги пауки и техники. Серия: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2020. - Т. 181, № 3. - С. 41-54.
- Клепиков, И. И. Уравнение Эйнштейна па трехмерных локально симметрических (псевдо)римановых многообразиях с векторным кручением / И. И. Клепиков, Е. Д. Родионов, О. И. Хромова. - Текст : непосредственный // Математические заметки СВФУ. - 2019. - Т. 26, №4. - С. 25-36.
- Milnor, J. Curvatures of left invariant metrics on Lie groups / J. Milnor // Advances in Mathematics. - 1976. - Vol. 21. - P. 293-329.
- Программный комплекс для определения секционной кривизны метрических групп Ли : свидетельство о регистрации программы для ЭВМ : № 2020614218 : заявл. 23.03.2020 : опубл. 27.03.2020 / Хромова О. И. - Текст : электронный // ЭБС АлТ- ГУ. - URL: http://elibrary.asu.ru/xmlui/handle/asu/10158?show=full (дата обращения: 10.04.2021).
- Программный комплекс для нахождения инвариантных тензорных полей конечномерных групп Ли : свидетельство о регистрации программы для ЭВМ : № 2014612649 : заявл. 14.10.2013 : опубл. 20.03.2014 / Оскорбин Д. Н., Хромова О. И. - Текст : электронный // ЭБС АлТГУ. - URL: http://elibrary.asu.ru/handle/asu/7432 (дата обращения: 10.04.2021).