Numerical determination of the heat transfer coefficient at the boundary between two media

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается уравнение

$\begin{array}{c}Mu=u_t-Lu=u_t-div\left(c\left(x,t\right)\nabla u\right)+b\left(x,t\right)\nabla u+a\left(x,t\right)u=f,\\ b\left(x,t\right)={\left(b_1\left(x,t\right),\dots ,b_n\left(x,t\right)\right)}^T,\nabla u={\left(\frac{\partial u}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial x}{\partial x_n}\right)}^T,n=\mathrm{2,3}\end{array}$ (1)

в области $\text{Q}=\left(\mathrm{0,}\text{T}\right)\times \text{G}$. Считаем, что пространственная область имеет вид $\text{G}=\text{Ω}\times \left(\mathrm{0,}\text{Z}\right)$ в случае $n=3$ и $G$ $–$ прямоугольник в случае $n=2$, т. е. $\text{Ω}=\left(\mathrm{0,}X\right)$. Считаем, что область $G$ разделена на две части $G^{\pm }$, $G^{+}=\text{Ω}\times \left(l,Z\right),G^{-}=\text{Ω}\times \left(\mathrm{0,}l\right)\mathrm{,0}<l<Z$. На плоскости $x_3=l_0$ (прямой $x_2=l$ в двумерном случае), т. е. на множестве ${\Gamma }_0=\left\{\left(x^{\prime },l_0\right),x^{\prime }\in \Omega \right\}$ заданы условия сопряжения типа неидеального контакта

$c_n^{+}{u}_{x_n}^{+}=\beta \left(u^{+}-u^{-}\right)+g,c_n^{+}{u}_{x_n}^{+}=c_n^{-}{u}_{x_n}^{-},x_n=l_0$, (2)

где $c_n{u}_{x_n}^{\pm }\left(t,x_0\right)=li{m}_{x\in G^{\pm },x\to x_0\in {\mathrm{\Gamma }}_0}{u}^{\pm }=li{m}_{x\in G^{\pm },x\to x_0\in {\mathrm{\Gamma }}_0}u\left(t,x\right)$. Далее иногда используем обозначение $u^{\pm }={\left.u\right|}_{G\pm }$ и записываем функцию $u$ в виде вектора $u=\left(u^{+},u^{-}\right)$. К условиям сопряжения мы добавляем условия переопределения вида

$u^{+}\left(t,y_i\right)={\psi }_i\left(t\right)\left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,r_1\right),u^{-}\left(t,y_i\right)={\psi }_i\left(t\right)\left(i=r_1+\mathrm{1,}\dots ,r\right),$ (3)

где $y_i\in \overline{G^{\pm }}\left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,r\right)$, т. е. возможен случай $y_i\in {\Gamma }_0.\text{Ha }S=\left(\mathrm{0,}T\right)\times \partial G$ задаем какие-либо краевые условия: Дирихле, Робина или смешанные условия. Например, варианты:

$c_3{u}_{x_1}\left(t,x^{\prime },Z\right)=g_1\left(t,x^{\prime }\right),c_3{u}_{x_3}\left(t,x^{\prime }\mathrm{,0}\right)=g_0\left(t,x^{\prime }\right),$

${\left.u\right|}_{\left(\mathrm{0,}T\right)\times \partial \text{Ω}}=\mathrm{0,}{\left.u\right|}_{t=0}=u_0\left(x\right),$ (4)

$u\left(t,x^{\prime },Z\right)=\mathrm{0,}u\left(t,x^{\prime }\mathrm{,0}\right)={\left.0 u\right|}_{\left(\mathrm{0,}T\right)\times \partial \text{Ω}}=\mathrm{0,}{\left.u\right|}_{t=0}=u_0\left(x\right).$ (5)

Условия могут быть как однородными, так и неоднородными. Задача состоит в нахождении решения уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2)$–$(4) и неизвестной функции $\text{β}$ вида $\mathrm{\beta }={\sum }_{\mathrm{j}=1}^r{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{j}}\left(t\right){\mathrm{\Phi }}_i\left(t,x^{\text{'}}\right)$, где функции $\text{Φ}$ заданы, а функции ${\text{β}}_{\text{j}}$ считаются неизвестными. Условия сопряжения (2) совпадают с известными в теории тепломассопереноса условиями на границе двух сред, когда контакт не является идеальным. В этом случае  $–$ коэффициент теплообмена.

Обратные задачи нахождения неизвестных граничных режимов, в частности задачи конвективного теплообмена, являются классическими. Они возникают в самых различных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование тепловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, моделирование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композитных материалов и т. п. (см. [1], [5]).

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных численному решению задач типа (1)$–$(5) в различных постановках, возникающих в приложениях; как правило, ищутся коэффициенты $\text{β}$, зависящие от времени или, наоборот, от пространственных переменных, точки ${\text{β}}_{\text{j}}$ в (4) чаще всего являются внутренними точками областей $G^{+}$, $G^{-}$. Отметим, например, работы [4], [7], [8], [10]$–$[14]. В качестве метода почти во всех работах используется сведение обратной задачи к некоторой задаче управления и минимизация соответствующего квадратичного функционала ([4], [8], [10], [11], [13], [14]). Опишем некоторые рассмотренные задачи. В работе [3] рассматриваются задачи определения коэффициента теплообмена на границе раздела сред. Полученные результаты и методы позволяют подойти к построению численных методов, но в работе получены теоретические результаты. В случае одной пространственной переменной зависящий от температуры коэффициент теплообмена по точечным условиям переопределения численно определяется в статье [8]. Двумерная обратная задача определения коэффициентов теплообмена (зависящих специальным образом от дополнительных параметров, которые и подлежат определению) по набору значений решений в заданных точках численно решается в работе [10]. В работах [7], [12] рассматриваются и численно решаются обратные задачи определения коэффициента теплообмена, зависящего от двух пространственных переменных с помощью метода Монте-Карло. В качестве условий переопределения берется значение решения на части границы области. Одновременное определение коэффициента, входящего в параболическое уравнение, и коэффициента теплообмена осуществляется в работе [13]. В качестве условий переопределения используются значения замеров температур в точках на границе раздела слоев (как и в условии (4). Точечные условия переопределения также используются в [4] и [11], в последней была рассмотрена одномерная обратная задача одновременного определения теплового потока на одной из боковых поверхностей цилиндра и термического контактного сопротивления на границе раздела сред. Численное определение коэффициента теплообмена по данным замеров на доступной части внешней границы рассматриваемой области осуществляется в работе [14]. Задачи численного определения точечных источников в обратных задачах тепломассопереноса рассмотрены в работе [6], где источники задаются в виде суммы дельта-функций Дирака с коэффициентами, зависящими от времени и характеризующими мощность соответствующего источника.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

В ходе работы будем основываться на результатах, полученных в работах [2] и [9], в которых получены и доказаны теоремы о существовании и единственности решения.

Рассмотрим случай $n=2$, $G=\left(\mathrm{0,}X\right)\times \left(\mathrm{0,}Z\right)$. Положим $\Gamma =\partial G$, ${\Gamma }_0=\left\{\left(x_1,l_0\right):x_1\in \left(\mathrm{0,}X\right)\right\}$ $S=\left(\mathrm{0,}T\right)\times \Gamma$, $S_0=\left(\mathrm{0,}T\right)\times {\Gamma }_0$.

Условия согласования данных имеют вид:

${\text{u}}_0\left({\text{x}}_1\mathrm{,0}\right)={\text{u}}_0\left({\text{x}}_1,\text{Z}\right)=\mathrm{0,}{\text{ u}}_0\left({\text{y}}_{\text{k}}\right)={\text{ψ}}_{\text{k}}\left(0\right).$ (6)

Опишем метод в случае $n=2$. Для численного решения используем метод конечных элементов. Далее для простоты рассматриваем условия (3) с условиями согласования (6).

Ищем функцию $\beta$ в виде $\mathrm{\beta }={\sum }_{\mathrm{j}=1}^r{\mathrm{\beta }}_{\mathrm{j}}\left(t\right){\mathrm{\Phi }}_i\left(x_1\right)$, где функции ${\mathrm{\beta }}_{\mathrm{j}}$ подлежат определению, а функции ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{j}},g_0$ известны. Считаем, что точки $y_i$ с $i\le r_1$ лежат во множестве $G^{+}\cup {\Gamma }_0$, соответственно точки $y_i$ с $i\ge r_1+1$ во множестве $G^{-}\cup {\Gamma }_0$.

Опишем метод решения прямой задачи. Задана триангуляция областей $G^{\pm }$ и соответствующие базисы метода конечных элементов ${\left\{{\phi }_i\right\}}_{i=1}^s$, ${\left\{{\phi }_i\right\}}_{i=s+1}^N$. Узлы сетки обозначим через $\left\{b_i\right\}$.

Ищем приближенное решение в виде

$v=\sum _{i=1}^N{C}_i\left(t\right){\phi }_i.$

Для удобства далее считаем, что точки $y_i$ ( $i\le r_1$ ) совпадают с узлами сетки $b_1,\dots ,b_{r_1}$, а точки $y_i$ ( $r_1+1<i\le r$ ) совпадают с узлами сетки $b_{s+1},\dots ,b_{s+r-r_1}$. Функции $C_i$ определяем из системы

$R_0{\overrightarrow{C}}_t+R_1\left(t\right)\overrightarrow{C}=\overrightarrow{F}+\overrightarrow{f},\overrightarrow{C}={(C_1,C_2,\dots ,C_N)}^T$, (7)

где координаты $\overrightarrow{\mathrm{f}}$ имеют вид

$\begin{array}{c}{f}_i={\int }_{G^{+}}f\left(t,x\right){\phi }_i\left(x\right) dx+{\int }_0^X{g}_1\left(t,x_1\right){\phi }_i\left(x_1,Z\right) d{x}_1-{\int }_0^{X}g\left(t,x_1\right){\phi }_i\left(x_1,l_0\right) d{x}_1,\end{array}$

при $i\le s$ и при $i>s$

$\begin{array}{c}{f}_i={{\displaystyle \int }}_{G^{-}}f\left(t,x\right){\phi }_i\left(x\right) dx-{{\displaystyle \int }}_0^X{g}_0\left(t,x_1\right){\phi }_i\left(x_1\mathrm{,0}\right) d{x}_1+{{\displaystyle \int }}_0^{X}g\left(t,x_1\right){\phi }_i\left(x_1,l_0\right) d{x}_1,\end{array}$ $R_0$ $–$ матрица с элементами $r_{ij}=\left({\phi }_i,{\phi }_j\right)={{\displaystyle \int }}_{G^{+}}{\phi }_i\left(x\right){\phi }_j\left(x\right) dx$ при $i,j\le s$, $r_{ij}=\left({\phi }_i,{\phi }_j\right)={{\displaystyle \int }}_{G^{-}}{\phi }_i\left(x\right){\phi }_j\left(x\right) dx$ при $i,j>s$, $r_{ij}=\mathrm{0,}$ если $\text{i}\le \text{s}$ и $j>s$ или $i>s$ и $j\le s$.

$R_1$ $–$ матрица с элементами:

$R_{jk}={(c_1\left(t,x\right){\phi }_{k{x}_1},{\phi }_{j{x}_1})}_{\pm }+{(c_2\left(t,x\right){\phi }_{k{x}_2},{\phi }_{j{x}_2})}_{\pm }+{(b\left(t,x\right)\nabla {\phi }_k,{\phi }_j)}_{\pm }+{(a\left(t,x\right){\phi }_k,{\phi }_j)}_{\pm },$

${(u,v)}_{\pm }={\int }_{G^{\pm }}uv dx$ , (8)

при $j,k\le s$ (в этом случае интегралы берутся по $G^{+}$ ) или $k,j>s$ (в этом случае интегралы берутся по $G^{-}$ ), считаем, что $R_{kj}=0$, если $k\le s$ и $j>s$ или $k>s$ и $j\le s$. Имеем, чтo $\overrightarrow{C}\left(0\right)={\overrightarrow{C}}_0=\left(u_0\left(b_1\right),\dots ,u_0\left(b_N\right)\right)$. Координаты вектора $\overrightarrow{F}$ имеют вид

$F_i=-{{\displaystyle \int }}_0^X\beta \left(t,x_1\right)\left(v^{+}\left(t,x_1,l_0\right)-v^{-}\left(t,x_1,l_0\right)\right){\phi }_i\left(x_1,l_0\right) d{x}_1$ при $i\le s$

$F_i={{\displaystyle \int }}_0^X\beta \left(t,x_1\right)\left(v^{+}\left(t,x_1,l_0\right)-v^{-}\left(t,x_1,l_0\right)\right){\phi }_i\left(x_1,l_0\right) d{x}_1$ при $i>s$.

Здесь $v^{\pm }\left(t,x,l_0\right)=\underset{\epsilon \to 0}{lim}v\left(t,x_1,l_0\pm \epsilon \right)$. Решение системы ищем методом конечных разностей. Пусть $\tau =T/M$. $–$ шаг по времени. Заменим уравнение (7) системой (9)

где $C_i^k\approx C_k\left(\tau i\right),$ ${\overrightarrow{F}}_i\approx \overrightarrow{F}\left(\text{τi}\right)$, ${\overrightarrow{f}}_i=\overrightarrow{f}\left(\tau i\right),A_i=R_1\left(\tau i\right).$ Пусть $\overrightarrow{\mathrm{\Psi }}={({\psi }_1,{\psi }_2,\dots ,{\psi }_r)}^T$, ${\overrightarrow{\mathrm{\Psi }}}_{\mathrm{i}}=\overrightarrow{\mathrm{\Psi }}\left(\tau i\right)$.

Положим ${\psi }_i^k={\psi }_k\left(\tau i\right)$. ${\overrightarrow{\beta }}_i={({\beta }_i^1,\dots ,{\beta }_i^r)}^T$, ${\overrightarrow{\beta }}_i\approx \overrightarrow{\beta }\left(\tau i\right)$, ${\beta }_i^k\approx {\beta }_k\left(i\tau \right)$.

Запишем координаты вектора ${\overrightarrow{\mathrm{F}}}_{\mathrm{i}+1}$. Возьмем

${\text{F}}_{\text{i}+1}^{\text{k}}=-{\displaystyle \sum }_{\text{j}=1}^{\text{r}}{\text{β}}_{\text{i}+1}^{\text{j}}({\displaystyle \sum }_{\text{l}=1}^{{\text{r}}_1}{\text{ψ}}_{\text{i}}^{\text{l}}{{\displaystyle \int }}_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1+$

$\sum _{\text{l}={\text{r}}_1+1}^{\text{s}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{\int }_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{dx}}_1-$
$\begin{array}{c}\begin{array}{l}-\sum _{\text{l}=\text{s}+1}^{\text{s}+\text{r}-{\text{r}}_1}{\text{ψ}}_{\text{i}}^{\text{l}-\text{s}+{\text{r}}_1}{\int }_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{dx}}_1-\\ -\sum _{\text{l}=\text{s}+\text{r}-{\text{r}}_1+1}^{\text{N}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{\int }_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1),\text{ k}=\mathrm{1,2,}\dots ,\text{s},\end{array}\end{array}$

${\text{F}}_{\text{i}+1}^{\text{k}}={\displaystyle \sum }_{\text{j}=1}^{\text{r}}{\text{β}}_{\text{i}+1}^{\text{j}}({\displaystyle \sum }_{\text{l}=1}^{{\text{r}}_1}{\text{ψ}}_{\text{i}}^{\text{l}}{{\displaystyle \int }}_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1+$
$\begin{array}{l}+\sum _{\text{l}={\text{r}}_1+1}^{\text{s}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{\int }_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1-\\ \text{- }\sum _{\text{l}=\text{s}+1}^{\text{s}+\text{r}-{\text{r}}_1}{\text{ψ}}_{\text{i}}^{\text{l}-\text{s}+{\text{r}}_1}{\int }_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{dx}}_1-\\ \text{- }\sum _{\text{l}=\text{s}+\text{r}-{\text{r}}_1+1}^{\text{N}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{\int }_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1),\text{ k}=\text{s}+\mathrm{1,}\text{s}+\mathrm{2,}\dots ,\text{N}.\end{array}$

Опишем ситуацию более подробно. Положим

${\text{a}}_{\text{kj}}^{\text{i}+1}=-{\displaystyle \sum }_{\text{l}=1}^{\text{s}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{{\displaystyle \int }}_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1+{\displaystyle \sum }_{\text{l}=\text{s}+1}^{\text{N}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{{\displaystyle \int }}_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1$

при $\text{k}\le \text{s}$ и

${\text{a}}_{\text{kj}}^{\text{i}+1}={\displaystyle \sum }_{\text{l}=1}^{\text{s}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{{\displaystyle \int }}_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1-{\displaystyle \sum }_{\text{l}=\text{s}+1}^{\text{N}}{\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}{{\displaystyle \int }}_0^{\text{X}}{\text{Φ}}_{\text{j}}\left({\text{x}}_1\right){\text{φ}}_{\text{l}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{φ}}_{\text{k}}\left({\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{ dx}}_1$

при $\text{k}>\text{s}$.

Здесь ${\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}={\psi }_i^l\left(l\le {\text{r}}_1\right), {\text{C}}_{\text{i}}^{\text{l}}={\psi }_i^{l-s+{\text{r}}_1}\left(l=s+\mathrm{1,}\dots ,s+r-{\text{r}}_1\right)$. Тогда

${\text{F}}_{\text{i}+1}^{\text{k}}=\sum _{\text{j}=1}^{\text{r}}{\text{β}}_{\text{i}+1}^{\text{j}}{\text{a}}_{\text{kj}}^{\text{i}+1}\left(\text{k}=\mathrm{1,}\dots ,{\text{r}}_1,\text{ s}+\mathrm{1,}\dots ,\text{s}+\text{r}-{\text{r}}_1\right), {\overrightarrow{\mathrm{F}}}_{\text{i}+1}={{\text{A}}^{\text{i}+1}\overrightarrow{\text{β}}}_{\text{i}+1},$

где матрица $A^{i+1}$ имеет размерность $\text{N}\times \text{r}$. Перепишем равенство (9) в виде

$R_{i+1}{\overrightarrow{C}}_{i+1}=\tau A^{i+1}{\overrightarrow{\beta }}_{i+1}+\tau {\overrightarrow{f}}_{i+1}+R_0{\overrightarrow{C}}_i,R_{i+1}=R_0+\tau A_{i+1}i=\mathrm{0,1,}\dots ,M-1.$ (10)

Построим $\text{r}\times \text{N}$ матрицу ${\text{D}}_0$ такую, что ${\text{d}}_{\text{ii}}=1$ при $\text{i}=\mathrm{1,}\dots ,{\text{r}}_1$, ${\text{d}}_{\text{ii}+\text{s}-{\text{r}}_1}=1$ при $\text{i}={\text{r}}_1+\mathrm{1,}\dots ,\text{r}$, а остальные элементы матрицы ${\text{D}}_0$ равны нулю. Обращая матрицу ${\text{R}}_{\text{i}+1}$ из (10), получим

${\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i+1}}{\text{=τR}}_{\text{i+1}}^{\text{-1}}{\text{A}}^{\text{i+1}}{\mathrm{\beta }}_{\text{i+1}}{\text{+τR}}_{\text{i+1}}^{\text{-1}}{\overrightarrow{\mathrm{f}}}_{\text{i+1}}{\text{+R}}_{\text{i+1}}^{\text{-1}}{\text{R}}_{\text{0}}{\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i}}\text{, i=0}\text{,1}\text{,2}\text{,…}\text{, M-1}\text{,}$ (11)

Применив матрицу ${\text{D}}_0$ и используя условия переопределения, получим

${\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i}+1}={\text{τD}}_0{\text{R}}_{\text{i}+1}^{-1}{\text{A}}^{\text{i}+1}{\overrightarrow{\mathrm{\beta }}}_{\text{i}+1}+{\text{τD}}_0{\text{R}}_{\text{i}+1}^{-1}{\overrightarrow{\mathrm{f}}}_{\text{i}+1}+{\text{D}}_0{\text{R}}_{\text{i}+1}^{-1}{\text{R}}_0{\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i}}, \text{i}=\mathrm{0,1,2,}\dots ,\text{M}-1.$ (12)

Обозначим $B_{i+1}=D_0{R}_{i+1}^{-1}{A}^{i+1}$ (матрица имеет размерность $\text{r}\times \text{r}$ ).
Отсюда, из равенства (12), находим вектор ${\text{β}}_{\text{i}+1}$:

${\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i}+1}={\text{B}}_{\text{i}+1}^{-1}{\overrightarrow{\mathrm{\beta }}}_{\text{i}+1}-{\text{τB}}_{\text{i}+1}^{-1}{\text{D}}_0{\text{R}}_{\text{i}+1}^{-1}{\overrightarrow{\mathrm{f}}}_{\text{i}+1}-{\text{B}}_{\text{i}+1}^{-1}{\text{D}}_0{\text{R}}_{\text{i}+1}^{-1}{\text{R}}_0{\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i}},\text{ i}=\mathrm{0,1,}\dots ,\text{M}-1.$ (13)

Определим начальные данные. Имеем ${\text{C}}_0^{\text{k}}={\text{u}}_0\left({\text{b}}_{\text{k}}\right)$. При $\text{i}=0$ правая часть системы (13) известна, тем самым найдем ${\overrightarrow{\mathrm{\beta }}}_1$, используя равенство (11), найдем вектор $\overrightarrow{\mathrm{C}}$ . Далее повторяем рассуждения: на $\text{i}$ -м шаге известны ${\overrightarrow{\mathrm{\beta }}}_{\mathrm{i}}$, ${\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i}}$. Используя равенство (13), найдем ${\overrightarrow{\mathrm{\beta }}}_{\text{i}+1}$, затем из (11) найдем вектор ${\overrightarrow{\mathrm{C}}}_{\text{i}+1}$. Матрица ${\text{B}}_{\text{i}+1}$ может быть сингулярной, поэтому для улучшения сходимости используем регуляризацию и заменяем в формуле (13) матрицу ${\text{B}}_{\text{i}+1}^{-1}$ матрицей ${({\text{B}}_{\text{i}+1}{\text{B}}_{\text{i}+1}^{\text{*}}+\text{ε})}^{-1}{\text{B}}_{\text{i}+1}^{\text{*}}$.

Сходимость алгоритма. Исходя из построения, легко увидеть, что система (8) эквивалентна системе:

$\begin{array}{l}{\int }_{G^{+}}\sum _{k=1}^s\frac{\left(C_i^k-C_{i-1}^k\right)}{\tau }{\phi }_k\left(x\right){\phi }_l\left(x\right)dx+{\int }_{G^{+}}\sum _{m=1}^2{c}_m\sum _{k=1}^s{C}_i^k{\phi }_{k{x}_m}+{\phi }_{l{x}_m}\left(x\right)dx+\\ +{\int }_{G^{+}}\sum _{k=1}^s{C}_i^k\left(\overrightarrow{b}\nabla {\phi }_k+a{\phi }_k\right){\phi }_l\left(x\right)dx=\\ ={\int }_{G^{+}}f{\phi }_l dx+{\int }_0^X{g}_1\left(t,x_1\right){\phi }_l\left(x_1,Z\right)d{x}_1-{\int }_0^{X}g\left(t,x_1\right){\phi }_l\left(x_1,l_0\right)d{x}_1-\\ -{\int }_0^X{\tilde{\beta }}_i^N\left(\sum _{k=1}^s{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)-\sum _{k=1+s}^N{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)\right){\phi }_l\left(x_1,l_0\right) d{x}_1\end{array}$ (14)

$\begin{array}{l}{\int }_{G^{-}}\sum _{K=1+s}^N\frac{(C_j^k-C_{j-1}^k)}{\tau }{\phi }_k\left(x\right){\phi }_l\left(x\right)dx+{\int }_{G^{-}}\sum _{m=1}^2{C}_m\sum _{k=1+s}^N{C}_j^k{\phi }_{k{x}_m}\left(x\right){\phi }_{l{x}_m}\left(x\right)dx=\\ ={\int }_{G^{-}}\sum _{k=1+s}^N{C}_j^k(\overrightarrow{b}\nabla {\phi }_k+a{\phi }_k){\phi }_l\left(x\right)dx-{\int }_o^X{g}_0(t,x_1){\phi }_l\left(x_1\mathrm{,0}\right)d{x}_1+\\ +{\int }_0^{X}g(t,x_1){\phi }_l(x_1,l_0)d{x}_1+{\int }_{G^{-}}f\phi dx+\\ {\int }_0^X{\tilde{\beta }}_i^N\left(\underset{k=1}{\overset{s}{}}{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)-\underset{k=1+s}{\overset{N}{}}{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)\right){\phi }_l\left(x_1,l_0\right)d{x}_1, \end{array}$ (15)

где ${\tilde{\beta }}_i^N=\sum _{k=1}^r{\beta }_{Ni}^k{\mathrm{\Phi }}_k\left(x_1\right)$(мы добавили индекс $N$ в определении функции ${\beta }_i=\sum _{k=1}^r{\beta }_i^k{\mathrm{\Phi }}_k\left(x_1\right)$ ). Кроме того, здесь ${\text{C}}_{\text{i}-1}^{\text{l}}={\text{ψ}}_{\text{i}-1}^{\text{l}}\left(\text{l}\le {\text{r}}_1\right)$ $C_{i-1}^l={\psi }_{i-1}^{l-s+r_1}\left(l=s+\mathrm{1,}\dots ,s+r-r_1\right).$ Положим также, что ${\tilde{\beta }}_N\left(t,x\right)={\tilde{\beta }}_i^N$ при $x\in G$, $t\in \left[\left(i-1\right)\tau ,i\tau \right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,M$.

Умножим равенства (14), (15) на постоянные $v_i^l$ и суммируем по $l$ (в соответствующих диапазонах). Получим

$\begin{array}{l}{\int }_{G^{+}}\sum _{k=1}^s\frac{\left(C_i^k-C_{i-1}^k\right)}{\tau }{\phi }_k\left(x\right)v_i^{+} dx+{\int }_{G^{+}}\sum _{m=1}^2{c}_m\sum _{k=1}^s{C}_i^k{\phi }_{k{x}_m}\left(x\right)v_{i{x}_m}^{+}\left(x\right) dx+\\ {\int }_{G^{+}}\sum _{k=1}^s{C}_i^k\left(\overrightarrow{b}\nabla {\phi }_k+a{\phi }_k\right)v_i^{+}\left(x\right)dx={\int }_0^X{g}_1\left(t,x_1\right)v_i^{+}\left(x_1,Z\right)d{x}_1-\\ {\int }_0^{X}g\left(t,x_1\right)v_i^{+}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1+{\int }_{G^{+}}f{v}_i^{+} dx-{\int }_0^X{\tilde{\beta }}_i^N(\sum _{k=1}^s{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)-\\ -\sum _{k=1+s}^N{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right))v_i^{+}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1, \end{array}$ (16)

$\begin{array}{l}{\int }_{G^{-}}\sum _{K=1+s}^N\frac{(C_j^k-C_{j-1}^k)}{\tau }{\phi }_k\left(x\right){v_j}^{-}\left(x\right)dx+\\ +{\int }_{G^{-}}\sum _{m=1}^2{c}_m\sum _{k=1+s}^N{C}_i^k\phi k{x}_m\left(x\right){v_{ix}}^{-}\left(x\right)dx+\\ +{\int }_{G^{-}}\sum _{k=1+s}^N{C}_i^k(\overrightarrow{b}\nabla {\phi }_k+a{\phi }_k){v_i}^{-}\left(x\right)dx=\\ =-{\int }_o^X{g}_0(t,x_1){v_i}^{-}\left(x_1\mathrm{,0}\right)d{x}_1+{\int }_o^{X}g(t,x_1){v_i}^{-}(x_1,l_0)d{x}_1+\\ +{\int }_{G^{-}}f{v}_i^{-}dx+{\int }_o^x{\beta }_i^N\left(\sum _{k=1}^S{C}_{i-1}^k{\phi }_k\right(x_1,l_0)- \\ -\sum _{k=1+s}^N{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right))v_i^{-}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1,\end{array}$ (17)

где $v_i^{+}={\displaystyle \sum }_{l=1}^s{v}_i^l{\phi }_l$, $v_i^{-}={\displaystyle \sum }_{l=1+s}^N{v}_i^l{\phi }_l$. Суммируя равенства (16), (17) по $i$ и меняя суммирование в первом слагаемом (используем равенства

${\displaystyle \sum }_{i=1}^M\left(a_i-a_{i-1}\right)b_i={\displaystyle \sum }_{i=1}^r{a}_i\left(b_i-b_{i+1}\right)-a_M{b}_{M+1}+a_0{b}_1$, где полагаем $b_{M+1}=0$), получим

$\begin{array}{l}\sum _{i=1}^M[{\int }_{G^{+}}\sum _{k=1}^s{C}_i^k{\phi }_k\left(x\right)\frac{\left(v_i^{+}-v_{i+1}^{+}\right)}{\tau } dx+{\int }_{G^{+}}\sum _{m=1}^2{c}_m\sum _{k=1}^s{C}_i^k{\phi }_{k{x}_m}\left(x\right)v_{i{x}_m}^{+}\left(x\right) dx+\\ \sum _{k=1}^s{C}_i^k\left(\overrightarrow{b}\nabla {\phi }_k+a{\phi }_k\right)v_i^{+}\left(x\right) dx]={\int }_{G^{+}}\sum _{k=1}^s{C}_0^k{\phi }_k\left(x\right)v_1^{+} dx+\\ {\int }_0^X{g}_1\left(t,x_1\right)v_i^{+}\left(x_1,Z\right) d{x}_1-{\int }_0^{X}g\left(t,x_1\right)v_i^{+}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1\sum _{i=1}^M[{\int }_{G^{+}}f{\phi }_l dx-\\ {\int }_0^X{\tilde{\beta }}_i^N\left(\sum _{k=1}^s{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)-\sum _{k=1+s}^N{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)\right)v_i^{+}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1],\end{array}$ (18)

$\begin{array}{l}-{\int }_0^X{g}_0\left(t,x_1\right)v_i^{-}\left(x_1\mathrm{,0}\right) d{x}_1+{\int }_0^{X}g\left(t,x_1\right)v_i^{-}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1+\\ \sum _{k=1+s}^N{C}_0^k{\phi }_k\left(x\right)v_1^{-} dx+\sum _{i=1}^M[{\int }_{G^{-}}f{v}_i^{-} dx+\\ +{\int }_0^X{\tilde{\beta }}_i^N\left(\sum _{k=1}^s{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)-\sum _{k=1+s}^N{C}_{i-1}^k{\phi }_k\left(x_1,l_0\right)\right)v_i^{-}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1].\end{array}$ (19)

Положим ${\overline{v}}_N^{+}\left(t,x\right)={\displaystyle \sum }_{l=1}^s\left(v_{i-1}^l\frac{\left(\tau i-t\right)}{\tau }+v_i^l\frac{\left(t-\tau \left(i-1\right)\right)}{\tau }\right){\phi }_l\left(x\right)$ при $x\in G$, $t\in \left[\left(i-1\right)\tau ,i\tau \right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,M. {\tilde{v}}_N^{+}\left(t,x\right)={\displaystyle \sum }_{l=1}^s{v}_i^l{\phi }_l\left(x\right)$ при $x\in G$, $t\in \left[\left(i-1\right)\tau ,i\tau \right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,M$, ${\overline{v}}_N^{-}\left(t,x\right)={\displaystyle \sum }_{l=1+s}^N\left(v_{i-1}^l\frac{\left(\tau i-t\right)}{\tau }+v_i^l\frac{\left(t-\tau \left(i-1\right)\right)}{\tau }\right){\phi }_l\left(x\right)$, при $x\in G$, $t\in \left[\left(i-1\right)\tau ,i\tau \right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,M$, ${\tilde{v}}_N^{-}\left(t,x\right)={\displaystyle \sum }_{l=1+s}^N{v}_i^l{\phi }_l\left(x\right)$ при $x\in G$, $t\in \left[\left(i-1\right)\tau ,i\tau \right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,M$.

Аналогичным образом определяем функции ${\tilde{u}}_N^{+}$, ${\tilde{u}}_N^{-}$, например, ${\tilde{u}}_N^{-}\left(t,x\right)={\displaystyle \sum }_{l=1+s}^N{C}_i^l{\phi }_l\left(x\right)$  при $x\in G$, $t\in \left[\left(i-1\right)\tau ,i\tau \right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,M$. Используя эти определения, можно переписать равенства (19), (18) в виде:

${{\displaystyle \int }}_0^T[{{\displaystyle \int }}_{G^{+}}{\tilde{u}}_N^{+}{\overline{v}}_{Nt}^{+} dx+{{\displaystyle \int }}_{G^{+}}{\displaystyle \sum }_{m=1}^2{c}_m{\tilde{u}}_{N{x}_m}^{+}{\tilde{v}}_{N{x}_m}^{+}\left(t,x\right) dx+$

${{\displaystyle \int }}_{G^{+}}\left(\overrightarrow{b}\nabla {\tilde{u}}_N^{+}+a{\tilde{u}}_N^{+}\right){\tilde{v}}_N^{+}\left(t,x\right)) dx] dt={{\displaystyle \int }}_0^T{{\displaystyle \int }}_0^X{g}_1\left(t,x_1\right)v_N^{+}\left(t,x_1,Z\right) d{x}_1-$

${{\displaystyle \int }}_0^{X}g\left(t,x_1\right)v_N^{+}\left(t,x_1,l_0\right) d{x}_1 dt+{{\displaystyle \int }}_{G^{+}}{u}_{0N}^{+}\left(x\right){\overline{v}}_N^{+}\left(\tau ,x\right) dx+{{\displaystyle \int }}_0^T[{{\displaystyle \int }}_{G^{+}}f{v}_N^{+} dx-$

${{\displaystyle \int }}_0^X{\tilde{\beta }}^N\left(u_N^{+}\left(t-\tau ,x_1,l_0\right)-u_N^{-}\left(t-\tau ,x_1,l_0\right)\right){\tilde{v}}_N^{+}\left(t,x_1,l_0\right) d{x}_1] dt, \left(20\right)$

${{\displaystyle \int }}_0^T[{{\displaystyle \int }}_{G^{-}}{\tilde{u}}_N^{-}{\overline{v}}_{Nt}^{-} dx+{{\displaystyle \int }}_{G^{-}}{\displaystyle \sum }_{m=1}^2{c}_m{\tilde{u}}_{N{x}_m}^{-}\left(x\right){\tilde{v}}_{N{x}_m}^{-}\left(x\right) dx+$

${{\displaystyle \int }}_{G^{-}}\left(\overrightarrow{b}\nabla u_N^{-}+a{u}_N^{-}\right){\tilde{v}}_N^{-}\left(x\right) dx] dt=-{{\displaystyle \int }}_0^T({{\displaystyle \int }}_0^X{g}_0\left(t,x_1\right)v_N^{-}\left(x_1\mathrm{,0}\right) d{x}_1+$

${{\displaystyle \int }}_0^{X}g\left(t,x_1\right)v_N^{-}\left(x_1,l_0\right) d{x}_1) dt+{{\displaystyle \int }}_{G^{-}}{u}_{0N}^{-}\left(x\right){\overline{v}}_N^{-}\left(\tau ,x\right) dx+{{\displaystyle \int }}_0^T[{{\displaystyle \int }}_{G^{-}}f{v}_N^{-} dx+$

${{\displaystyle \int }}_0^{\text{X}}{\widetilde{\text{β}}}_{\text{i}}^{\text{N}}\left({\text{u}}_{\text{N}}\left(\text{t}-\text{τ},{\text{x}}_1,{\text{l}}_0{)}^{+}-{\text{u}}_{\text{N}}^{-}\left(\text{t}-\text{τ},{\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right)\right){\tilde{\text{v}}}_{\text{N}}^{-}\left(\text{t},{\text{x}}_1,{\text{l}}_0\right){\text{dx}}_1\right]\text{dt},\left(21\right)$

где $u_{0N}^{+}={\displaystyle \sum }_{k=1}^s{C}_0^k{\phi }_k$*,  $u_{0N}^{-}={\displaystyle \sum }_{k=1+s}^N{C}_0^k{\phi }_k$

Предполагаем, что найдутся постоянные $c_i>0$ такие, что

$c_1\Vert u{\Vert }_{W_2^1\left(G\right)}^2\le \left(Au,u\right)\le c_2\Vert u{\Vert }_{W_2^1\left(G\right)}^2\forall u\in W_2^1\left(G\right),u{|}_{\Gamma }=0.$

Также предположим, что найдется постоянная $C_1$, не зависящая от сетки по пространственным переменным и времени, такая, что

$\underset{t}{max}\Vert {\tilde{u}}_N{\Vert }_{L_2\left(G\right)}+\Vert {\tilde{u}}_N{\Vert }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right)}\le C_1,\Vert {\beta }_N{\Vert }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(\mathrm{0,}X\right)\right)}\le C_1.$***TRANSLATION ERROR*** (22)

Считаем, что функции ${\Phi }_i$ линейно независимы. Тогда найдется постоянная $C_2$, не зависящая от $N$, такая, что

$\tau {\displaystyle \sum }_{i=1}^M{\displaystyle \sum }_{k=1}^r|{\beta }_{Ni}^k{|}^2\le C_2\Vert {\beta }_N{\Vert }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(\mathrm{0,}X\right)\right)}^2\le {(C_1)}^2{C}_2.$  (23)

Поскольку число r фиксировано, то оценка (23) влечет также оценку вида

$\Vert {\beta }_N{\Vert }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^s\left(\mathrm{0,}X\right)\right)}\le C_3$, (24)

где $\text{s}$ определяется из условия ${\Phi }_i\in W_2^s\left(\mathrm{0,}X\right)$. Оценка (22) гарантирует также оценку

$\Vert {\tilde{u}}_N\left(t,x_1,l_0\right){\Vert }_{L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^{1/2}\left(\mathrm{0,}X\right)\right)}\le C_3$. (25)

Фиксируем $s>0$ и предположим, что ${\mathrm{\Phi }}_i\in W_2^s\left(\mathrm{0,}X\right)$ для всех i. Оценки (22)-(25) влекут, что найдутся подпоследовательности $u_{N_k},{\beta }_{N_k}$ такие, что

$\begin{array}{l}{\tilde{u}}_{N_k}\to u\in L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^1\left(G\right)\right),{\tilde{u}}_{N_k}\to u\in L_{\infty }\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(G\right)\right),\\ {\tilde{u}}_{N_k}\left(t,x_1,l_0\right)\to u\left(t,x_1,l_0\right)\in L_2\left(\mathrm{0,}T;W_2^{\frac{1}{2}}\left(\mathrm{0,}X\right)\right),\\ {\tilde{\beta }}_{N_k}\to \tilde{\beta }\in L_2(\left(\mathrm{0,}T;W_2^s\left(\mathrm{0,}X\right)\right)\end{array}$

слабо, $\text{*}$ -слабо и по норме.

Если мы дополнительно предположим, что у нас есть оценка вида

$\Vert {\tilde{u}}_N\left(x_1,l_0\right){\Vert }_{W_2^{s_0}\left(\mathrm{0,}T;W_2^{s_1}\left(\mathrm{0,}X\right)\right)}\le C_4$ (26)

или вида

$\Vert {\beta }_N{\Vert }_{W_2^{s_0}\left(\mathrm{0,}T;W_2^{s_1}\left(\mathrm{0,}X\right)\right)}\le C_5$, (27)

где $s_1$ произвольно (в том числе возможно, что $s_1<0$ ) и $s_0>0$, то стандартные утверждения о компактности влекут, что существует подпоследовательность $u_{N_k}$ такая, что $u_{N_k}\left(t,x_1,l_0\right)\to u\left(t,x_1,l_0\right)$, или ${\beta }_{N_k}\to \tilde{\beta }$ сильно в $L_2\left(\mathrm{0,}T;L_2\left(\mathrm{0,}X\right)\right)$.