Calculation of plate bending under longitudinal-transverse load

ВВЕДЕНИЕ

Асимптотически оптимальный метод фиктивных областей был разработан в [1] для решения эллиптического уравнения второго порядка при краевом условии Неймана. Актуальна необходимость разработки асимптотически оптимального метода решения эллиптического уравнения четвертого порядка при наличии краевого условия Дирихле в области со сложной геометрией; что теоретически считается возможным [2]. Такого типа задача Дирихле для уравнения, только второго порядка, была асимптотически оптимально решена, но достаточно сложным методом фиктивного пространства [3]. В данной работе метод итерационных расширений развивается для решения эллиптической краевой задачи четвертого порядка, применяемой при моделировании изгиба пластины при продольно-поперечной нагрузке, используя работы [4, 5].

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Постановки задачи: смешанная краевая задача для эллиптического уравнения четвертого порядка, которая описывает изгиб пластины при продольно-поперечной нагрузке при обязательном наличии краевого условия Дирихле.

$u:{\Delta }^2\breve{u}+\rho \Delta \breve{u}+a\breve{u}=\breve{f}\left|\Omega \right.,\Omega \subset {ℝ}^2,a,\rho \ge \mathrm{0,}$ (1)

$\breve{u}=\frac{\partial \breve{u}}{\partial \overrightarrow{\nu }}\left|{\gamma }_0\right.=\mathrm{0,}\breve{u}=l_1\breve{u}\left|{\gamma }_1=\right.\mathrm{0,}\frac{\partial \breve{u}}{\partial \overrightarrow{\nu }}=l_2\breve{u}\left|{\gamma }_2=\right.\mathrm{0,}{l}_1\breve{u}=l_2\breve{u}\left|{\gamma }_3=\right.\mathrm{0,}$

если граница области $\Omega$ является замыканием объединения открытых и непересекающихся частей

$\partial \Omega =s,s=\overline{{\gamma }_0\cup {\gamma }_1\cup {\gamma }_2\cup {\gamma }_3},{\gamma }_i\cap {\gamma }_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=\mathrm{0,1,2,3,}$

здесь используем дифференциальные операторы

$l_1\breve{u}=\Delta \breve{u}+\left(1-\sigma \right)n_1{n}_2{\breve{u}}_{xy}-n_2^2{\breve{u}}_{xx}-n_1^2{\breve{u}}_{yy},$

$l_2\breve{u}=\frac{\partial \Delta \breve{u}}{\partial \overrightarrow{\nu }}+\left(1-\sigma \right)\frac{\partial }{\partial \overrightarrow{s}}\left(n_1{n}_2\left({\breve{u}}_{yy}-{\breve{u}}_{xx}\right)+\left(n_1^2-n_2^2\right){\breve{u}}_{xy}\right)+\rho \frac{\partial \breve{u}}{\partial \overrightarrow{\nu }}$

и

$n_1=-\cos (\overrightarrow{\nu },x),n_2=-\cos (\overrightarrow{\nu },y),\sigma \in \left[0;1\right).$

В механике решение задачи $u-$ функция прогиба пластины, правая часть в уравнении $\breve{f}-$ нагрузка при поперечном давлении, коэффициенты в приведенном уравнении $a,\rho \ge \mathrm{0,}$ $\sigma -$ коэффициент Пуассона, $\Omega -$ ограниченная область, $\overrightarrow{\nu }-$ внешняя нормаль к $\partial \Omega ,$ $\overrightarrow{s}-$ касательная к $\partial \Omega .$

Краевая задача рассматривается в вариационной формулировке:

$\breve{u}\in \breve{H}:\Lambda \left(\breve{u},\breve{v}\right)=F\left(\breve{v}\right)\forall \breve{v}\in \breve{H},F\in {\breve{H}}^{\text{'}},$ (2)

а пространство ее решений есть функции в пространстве Соболева

$\breve{H}=\breve{H}\left(\Omega \right)=\left\{\breve{v}\in W_2^2\left(\Omega \right):{\left.\breve{v}\right|}_{{\gamma }_0\cup {\gamma }_1}=\mathrm{0,}\frac{\partial \breve{v}}{\partial \overrightarrow{\nu }}\left|{\gamma }_0\cup {\gamma }_2\right.=0\right\},$

билинейная форма

$\Lambda \left(\breve{u},\breve{v}\right)=$

$={{\displaystyle \int }}_{\Omega }\left(\sigma \Delta \breve{u}\Delta \breve{v}+\left(1-\sigma \right)\left({\breve{u}}_{xx}{\breve{v}}_{xx}+2{\breve{u}}_{xy}{\breve{v}}_{xy}+{\breve{u}}_{yy}{\breve{v}}_{yy}\right)-\rho \left({\breve{u}}_x{\breve{v}}_x+{\breve{u}}_y{\breve{v}}_y\right)+a\breve{u}\breve{v}\right)d\Omega ,$

правая часть задачи при $\breve{f}\in L_2\left(\Omega \right)$ $–$ линейный функционал

$F\left(\breve{v}\right)=\left(\breve{u},\breve{v}\right)={{\displaystyle \int }}_{\Omega }\breve{f}\breve{v}d\Omega .$

Для задачи из (2) достаточно обычно предположение, что билинейная форма порождает эквивалентную нормировку в пространстве решений:

$\exists c_1,c_2\in \left(0;+\infty \right):c_1{\breve{v}}_{W_2^2\left(\Omega \right)}^2\le \Lambda \left(\breve{v},\breve{v}\right)\le c_2{\breve{v}}_{W_2^2\left(\Omega \right)}^2\forall \breve{v}\in \breve{H}.$ 

Это предположение обеспечивает существование единственности решения этой задачи [6].

Рассматриваем при навешиваемом индексе $\omega =1$ решаемую краевую задачу в вариационном виде, а при навешиваемом индексе $\omega ={\rm I}{\rm I}$ вводим фиктивную краевую задачу в вариационном виде

${\breve{u}}_{\omega }\in {\breve{H}}_{\omega }:{\Lambda }_{\omega }\left({\breve{u}}_{\omega },{\breve{v}}_{\omega }\right)=F_{\omega }\left({\breve{v}}_{\omega }\right)\forall {\breve{v}}_{\omega }\in {\breve{H}}_{\omega },F_{\omega }\in {\breve{H}}_{\omega }^{\text{'}},\omega \in \left\{\mathrm{1,}{\rm I}{\rm I}\right\},{\Omega }_{\omega }\subset {ℝ}^2,$ (3)

если правые части у приведенных выше задач, когда заданные функции ${\breve{f}}_{\omega }\in L_2\left({\Omega }_{\omega }\right)$ задаются как функционалы

$F_{\omega }\left({\breve{v}}_{\omega }\right)={{\displaystyle \int }}_{{\Omega }_{\omega }}{\breve{f}}_{\omega }{\breve{v}}_{\omega }d{\Omega }_{\omega }\forall {\breve{v}}_{\omega }\in {\breve{H}}_{\omega },{\breve{f}}_{{\rm I}{\rm I}}{}_1=\mathrm{0,}$

билинейные формы

${\Lambda }_{\omega }\left({\breve{u}}_{\omega },{\breve{v}}_{\omega }\right)={{\displaystyle \int }}_{{\Omega }_{\omega }}({\sigma }_{\omega }\Delta {\breve{u}}_{\omega }\Delta {\breve{v}}_{\omega }+\left(1-{\sigma }_{\omega }\right)\left({\breve{u}}_{\omega xx}{\breve{v}}_{\omega xx}+2{\breve{u}}_{\omega xy}{\breve{v}}_{\omega xy}+{\breve{u}}_{\omega yy}{\breve{v}}_{\omega yy}\right)+-{\rho }_{\omega }\left({\breve{u}}_{\omega x}{\breve{v}}_{\omega x}+{\breve{u}}_{\omega y}{\breve{v}}_{\omega y}\right)+a_{\omega }{\breve{u}}_{\omega }{\breve{v}}_{\omega })d{\Omega }_{\omega },$ пространства их решений есть функции из пространств Соболева

${\breve{H}}_{\omega }={\breve{H}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right)=\left\{{\breve{v}}_{\omega }\in W_2^2\left({\Omega }_{\omega }\right):{\left.{\breve{v}}_{\omega }\right|}_{{\gamma }_{\omega \mathrm{,0}}\cup {\gamma }_{\omega \mathrm{,1}}}=\mathrm{0,}\frac{\partial {\breve{v}}_{\omega }}{\partial {\overrightarrow{\nu }}_{\omega }}\left|{\gamma }_{\omega \mathrm{,0}}\cup {\gamma }_{\omega \mathrm{,2}}\right.=0\right\},$

причем эти пространства рассматриваются на ограниченных областях ${\Omega }_{\omega }$, которые имеют следующие границы, являющиеся замыканиями объединений открытых и непересекающихся частей

$\partial {\Omega }_{\omega }=s_{\omega },s_{\omega }=\overline{{\gamma }_{\omega \mathrm{,0}}\cup {\gamma }_{\omega \mathrm{,1}}\cup {\gamma }_{\omega \mathrm{,2}}\cup {\gamma }_{\omega \mathrm{,3}}},$

${\gamma }_{\omega ,i}\cap {\gamma }_{\omega ,j}=\varnothing$, если $i\ne j$, $i,j=\mathrm{0,1,2,3}$,

внешние нормали ${\overrightarrow{\nu }}_{\omega }$ к $\partial {\Omega }_{\omega },$ заданные и выбираемые коэффициенты $a_{\omega },{\rho }_{\omega }\ge \mathrm{0,}$ коэффициенты Пуассона ${\sigma }_{\omega }\in \left[0;1\right).$ Полагается, что также выполняются неравенства, обеспечивающие для каждой из приведенных задач существование и единственность ее решения

$\exists c_1,c_2\in \left(0;+\infty \right):c_1{\breve{v}}_{\omega }{}_{W_2^2\left({\Omega }_{\omega }\right)}^2\le \Lambda \left({\breve{v}}_{\omega },{\breve{v}}_{\omega }\right)\le c_2{\breve{v}}_{\omega }{}_{W_2^2\left({\Omega }_{\omega }\right)}^2\forall {\breve{v}}_{\omega }\in {\breve{H}}_{\omega }.$

Решаемая задача и фиктивная задача формулируются совместно как продолженная задача

$\breve{u}\in \breve{V}:{\Lambda }_1\left(\breve{u},I_1\breve{v}\right)+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\left(\breve{u},\breve{v}\right)=F_1\left(I_1\breve{v}\right)\forall \breve{v}\in \breve{V},$ (4)

пространство решений этой задачи в расширенном пространстве функций из пространства Соболева

$\breve{V}=\breve{V}\left(\Pi \right)=\left\{\breve{v}\in W_2^2\left(\Pi \right):{\left.\breve{v}\right|}_{{\Gamma }_0\cup {\Gamma }_1}=\mathrm{0,}{\left.\frac{\partial \breve{v}}{\partial \overrightarrow{N}}\right|}_{{\Gamma }_0\cup {\Gamma }_2}=0\right\},$

где данная, выбираемая область ${\Omega }_1,$ ${\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}$ такие ${\stackrel{}{\overline{\Omega }}}_1\cup {\stackrel{}{\overline{\Omega }}}_{{\rm I}{\rm I}}=\overline{П},{\Omega }_1\cap {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}=\varnothing .$ $\partial \Pi$ является замыканием объединения открытых непересекающихся частей

$\partial \Pi =\Gamma ,\Gamma =\overline{{\Gamma }_0\cup {\Gamma }_1\cup {\Gamma }_2\cup {\Gamma }_3},{\Gamma }_i\cap {\Gamma }_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=\mathrm{0,1,2,3,}$

пересечение $\partial {\Omega }_1,$ $\partial {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}$ является замыканием пересечения ${\gamma }_{\mathrm{1,0}}$ и ${\gamma }_{{\rm I}{\rm I}\mathrm{,3}}$

$\partial {\Omega }_1\cap \partial {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}=\overline{{\gamma }_{\mathrm{1,0}}\cap {\gamma }_{{\rm I}{\rm I}\mathrm{,3}}},{\gamma }_{\mathrm{1,0}}\cap {\gamma }_{{\rm I}{\rm I}\mathrm{,3}}\ne \varnothing ,$

$\overrightarrow{N}-$ теперь внешняя нормаль к $\partial \Pi$.

Расширенное пространство содержит в качестве подпространства продолженное пространство решений

${\breve{V}}_1={\breve{V}}_1\left(\Pi \right)=\left\{{\breve{v}}_1\in \breve{V}:{\left.{\breve{v}}_1\right|}_{\Pi \backslash {\Omega }_1}=0\right\}.$

Вводятся операторы проектирования на продолженное пространство из расширенного пространства

$I_1:\breve{V}\mapsto {\breve{V}}_1,{\breve{V}}_1=im{I}_1,I_1=I_1^2.$

Расширенное пространство содержит подпространства

${\breve{V}}_2={\breve{V}}_2\left(\Pi \right)=\left\{{\breve{v}}_2\in \breve{V}:{\left.{\breve{v}}_2\right|}_{\Pi \backslash {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}}=0\right\},{\breve{V}}_0={\breve{V}}_1\oplus {\breve{V}}_2,$

${\breve{V}}_3={\breve{V}}_3\left(\Pi \right)=\left\{{\breve{v}}_3\in \breve{V}:\Lambda \left({\breve{v}}_3,{\breve{v}}_0\right)=0\forall {\breve{v}}_0\in {\breve{V}}_0\right\}.$

Имеют место разложения

$\breve{V}={\breve{V}}_1\oplus {\breve{V}}_2\oplus {\breve{V}}_3={\breve{V}}_1\oplus {\breve{V}}_{{\rm I}{\rm I}}$

и

${\breve{V}}_{{\rm I}}={\breve{V}}_1\oplus {\breve{V}}_3,{\breve{V}}_{{\rm I}{\rm I}}={\breve{V}}_2\oplus {\breve{V}}_3,$

а разложение в прямые суммы получается при использовании скалярного произведения билинейной формы

$\Lambda \left(\breve{u},\breve{v}\right)={\Lambda }_1\left(\breve{u},\breve{v}\right)+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\left(\breve{u},\breve{v}\right)\forall \breve{u},\breve{v}\in \breve{V}.$

Как и ранее, достаточно обычно предположить, что билинейная форма порождает эквивалентную нормировку пространства функций Соболева в расширенном пространстве

$\exists c_1,c_2>0:c_1{\breve{v}}_{W_2^2\left(\Pi \right)}^2\le \Lambda \left(\breve{v},\breve{v}\right)\le c_2{\breve{v}}_{W_2^2\left(\Pi \right)}^2\forall \breve{v}\in \breve{V}.$

Как обычно в рамках используемого направления, полагаем, что в расширенном пространстве, являющемся пространством функций Соболева, имеют место положения о продолжении функций в следующем виде:

$\exists {\breve{\beta }}_1\in \left(0;1\right],{\breve{\beta }}_2\in \left[{\breve{\beta }}_1;1\right]:{\breve{\beta }}_1\Lambda \left({\breve{v}}_3,{\breve{v}}_3\right)\le {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\left({\breve{v}}_3,{\breve{v}}_3\right)\le {\breve{\beta }}_2\Lambda \left({\breve{v}}_3,{\breve{v}}_3\right)\forall {\breve{v}}_3\in {\breve{V}}_3.$

Указанные выше положения и предположения обеспечивают существование и единственность решения задачи (4). Функцию и ее продолжение удобно обозначать одинаково на соответствующих областях

${\breve{H}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right)={\breve{V}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right),\omega \in \left\{\mathrm{1,}{\rm I}{\rm I}\right\}.$

При исследовании продолженной задачи можно применить модифицированный метод фиктивных компонент:

${\breve{u}}^k\in \breve{V}:\Lambda \left({\breve{u}}^k-{\breve{u}}^{k-1},\breve{v}\right)=-{\tau }_{k-1}\left({\Lambda }_1\left({\breve{u}}^{k-1},I_1\breve{v}\right)+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\left({\breve{u}}^{k-1},\breve{v}\right)-F_1\left(I_1\breve{v}\right)\right)\forall \breve{v}\in \breve{V},$

${\tau }_0=\mathrm{1,}{\tau }_{k-1}=\tau =\frac{2}{(}{\breve{\beta }}_1+{\breve{\beta }}_2),k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\},\forall {\breve{u}}^0\in {\breve{V}}_1\subset \breve{V}.$ (5)

Определим норму в пространстве $\breve{V}$ через скалярное произведение

${\breve{v}}_{\breve{V}}=\sqrt{\Lambda \left(\breve{v},\breve{v}\right)}$.

Теорема 1. В итерационном процессе (5) выполняются оценки сходимости для относительных ошибок

${\breve{u}}^k-{\breve{u}}_{\breve{V}}\le \breve{\epsilon }{\breve{u}}^0-{\breve{u}}_{\breve{V}},\text{}\text{}k\in \mathbb{N},$

где

$\breve{\epsilon }={\breve{\delta }}_1{\breve{q}}^{k-1},{\breve{\delta }}_1=\sqrt{I_1{}_{\breve{V}}^2-1}\mathrm{,0}\le \breve{q}=\frac{\left({\breve{\beta }}_2-{\breve{\beta }}_1\right)}{\left({\breve{\beta }}_1+{\breve{\beta }}_2\right)}<1.$

Продолженную задачу на прямоугольной области рассмотрим на конечномерном подпространстве пространства Соболева. Для аппроксимации продолженной задачи применим метод конечных элементов, используя в нем кусочно-параболические функции, полагая, что

$\Pi =\left(0;b_1\right)\times \left(0;b_2\right),{\Gamma }_0=\varnothing ,{\Gamma }_1=\left\{b_1\right\}\times \left(0;b_2\right)\cup \left(0;b_1\right)\times \left\{b_2\right\},$

${\Gamma }_2=\left\{0\right\}\times \left(0;b_2\right)\cup \left(0;b_1\right)\times \left\{0\right\},{\Gamma }_3=\varnothing ,b_1,b_2\in \left(0;+\infty \right).$

В прямоугольной области определяем сетку с выбираемыми узлами

$\left(x_i;y_j\right)=\left(\left(i-\mathrm{1,5}\right)h_1;\left(j-\mathrm{1,5}\right)h_2\right),$

$h_1=b_1/\left(m-\mathrm{1,5}\right),h_2=b_2/\left(n-\mathrm{1,5}\right),i=\mathrm{1,2,...,}m,j=\mathrm{1,2,...,}n,m-\mathrm{2,}n-2\in \mathbb{N}.$

На множестве выбранных узлов рассматриваем сеточные функции

$v_{i,j}=v\left(x_i;y_j\right)\in ℝ,i=\mathrm{1,2,...,}m,j=\mathrm{1,2,...,}n,m-\mathrm{2,}n-2\in \mathbb{N}.$

По сеточным функциям проводим их восполнения с использованием кусочно-параболических функций, определив следующие базисные функции

${\Phi }^{i,j}\left(x;y\right)={\Psi }^{\mathrm{1,}i}\left(x\right){\Psi }^{\mathrm{2,}j}\left(y\right),i=\mathrm{2,...,}m-\mathrm{1,}j=\mathrm{2,...,}n-\mathrm{1,}m-\mathrm{2,}n-2\in \mathbb{N},$

${\Psi }^{\mathrm{1,}i}\left(x\right)=\left[\frac{2}{i}\right]\Psi \left(\frac{x}{h_1}-i+4\right)+\Psi \left(\frac{x}{h_1}-i+3\right)-\left[\frac{\left(i+1\right)}{m}\right]\Psi \left(\frac{x}{h_1}-i+1\right),$

${\Psi }^{\mathrm{2,}j}\left(y\right)=\left[\frac{2}{j}\right]\Psi \left(\frac{y}{h_2}-j+4\right)+\Psi \left(\frac{y}{h_2}-j+3\right)+\left[\frac{\left(j+1\right)}{n}\right]\Psi \left(\frac{y}{h_2}-j+1\right),$

при

$\Psi \left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0,5}{t}^2,\\ -t^2+3t-\mathrm{1,5,}\\ \mathrm{0,5}{t}^2-3t+\mathrm{4,5,}\\ \mathrm{0,}\end{array}\right.\begin{array}{c}t\in \left[0;1\right],\\ t\in \left[1;2\right],\\ t\in \left[2;3\right],\\ t\notin \left(0;3\right),\end{array}$

$\left[•\right]-$ функция взятия целой части числа, функции ${\Phi }^{i,j}\left(x;y\right)$ нулевые вне $\Pi .$

${\Phi }^{i,j}\left(x;y\right)=\mathrm{0,}\left(x;y\right)\notin \Pi ,i=\mathrm{2,...,}m-\mathrm{1,}j=\mathrm{2,...,}n-\mathrm{1,}m-\mathrm{2,}n-2\in \mathbb{N}.$

В расширенном пространстве базисные функции образуют подпространство

$\tilde{V}=\left\{\tilde{v}={{\displaystyle \sum }}_{i=2}^{m-1}{{\displaystyle \sum }}_{j=2}^{n-1}{v}_{i,j}{\Phi }^{i,j}\left(x;y\right)\right\}\subset \breve{V}.$

Продолженная ранее задача аппроксимируется по методу конечных элементов, и получается задача в матричной записи

$\stackrel{}{\overline{u}}\in {ℝ}^N:\widehat{B}\stackrel{}{\overline{u}}=\stackrel{}{\overline{f}},\stackrel{}{\overline{f}}\in {ℝ}^N.$  (6)

Выбирается оператор проектирования на конечномерном подпространстве, который полагает равными нулю коэффициенты у базисных функций, если их носители не содержатся в ${\overline{\Omega }}_1$. При аппроксимации продолженной задачи задаются продолженные матрица и правая часть следующими формулами:

$⟨\widehat{B}\stackrel{}{\overline{u}},\stackrel{}{\overline{v}⟩}={\Lambda }_1\left(\tilde{u},I_1\tilde{v}\right)+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\left(\tilde{u},\tilde{v}\right)\forall \tilde{u},\tilde{v}\in \tilde{V},\stackrel{}{⟨\overline{f}},\stackrel{}{\overline{v}⟩}=F_1\left(I_1\tilde{v}\right)\forall \tilde{v}\in \tilde{V},$

$⟨\overline{f},\overline{v}⟩=\left(\overline{f},\overline{v}\right)h_1{h}_2=\stackrel{}{\overline{f}}\stackrel{}{\overline{v}}{h}_1{h}_2,\overline{v}={(v_1,v_2\mathrm{,...,}{v}_N)}^{\text{'}}\in R^N,N=\left(m-2\right)\left(n-2\right).$

Последовательно занумеруем коэффициенты, базисные функции. Коэффициенты, базисные функции с носителями, содержащимися в ${\overline{\Omega }}_1$, занумеруем первыми. Коэффициенты, базисные функции с носителями, содержащимися в ${\overline{\Omega }}_{{\rm I}{\rm I}}$, занумеруем вторыми. Остальные коэффициенты, базисные функции занумеруем третьими. При таком упорядочивании коэффициентов векторы, состоящие из коэффициентов у базисных функций, будут иметь следующий блочный вид $\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}},$ например,

$\overline{u}={({\overline{u}}_1{}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}})}^{\text{'}},\overline{f}={({\overline{f}}_1{}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}})}^{\text{'}}.$

Продолженная матрица приобретает следующую блочную форму:

$\widehat{B}=\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\Lambda }}_{11}& 0& {\widehat{\Lambda }}_{13}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{22}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{03}\end{array}\right].$

Продолженная задача после аппроксимации записывается в следующей форме:

$\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ {\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]\in {ℝ}^N:\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\Lambda }}_{11}& 0& {\widehat{\Lambda }}_{13}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{22}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{03}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ {\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\overline{f}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{\overline{f}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right]\in {ℝ}^N,$ где $\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ {\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right].$

Исходная задача после аппроксимации записывается в следующей форме:

${\Lambda }_{11}{\overline{u}}_1={\overline{f}}_1.$ 

Фиктивная задача после аппроксимации записывается в следующей форме:

$\left[\begin{array}{cc}{\widehat{\Lambda }}_{22}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{03}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right],$ где $\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right].$

Задаем матрицы, определяемые из скалярных произведений:

${\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}\overline{u},\overline{v}={\Lambda }_1\left(\tilde{u},\tilde{v}\right),{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}\overline{u},\overline{v}={\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\left(\tilde{u},\tilde{v}\right)\forall \tilde{u},\tilde{v}\in \tilde{V}.$

Эти матрицы принимают следующую блочную форму:

${\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\Lambda }}_{11}& 0& {\widehat{\Lambda }}_{13}\\ 0& 0& 0\\ {\widehat{\Lambda }}_{31}& 0& {\widehat{\Lambda }}_{30}\end{array}\right],{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{22}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{03}\end{array}\right].$

Вводим векторные подпространства:

${\overline{V}}_1=\left\{\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_2=\overline{0},{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\},$

${\overline{V}}_2=\left\{\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_1=\overline{0},{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}.$

Еще дополнительно определяем векторное подпространство:

${\overline{V}}_3=\left\{\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\widehat{\Lambda }}_{11}{\overline{v}}_1+{\widehat{\Lambda }}_{13}{\overline{v}}_3=\overline{0},{\widehat{\Lambda }}_{22}{\overline{v}}_2+{\widehat{\Lambda }}_{23}{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}.$

Можно отметить, что

${ℝ}^N={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_2\oplus {\overline{V}}_3={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_{{\rm I}{\rm I}}$

при

${\overline{V}}_{{\rm I}}={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_3,{\overline{V}}_{{\rm I}{\rm I}}={\overline{V}}_2\oplus {\overline{V}}_3.$

Определим расширенную матрицу

$\widehat{C}={\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}+\widehat{\mu }{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}},$

$\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{C}}_{11}& 0& {\widehat{C}}_{13}\\ 0& {\widehat{C}}_{22}& {\widehat{C}}_{23}\\ {\widehat{C}}_{31}& {\widehat{C}}_{32}& {\widehat{C}}_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\Lambda }}_{11}& 0& {\widehat{\Lambda }}_{13}\\ 0& 0& 0\\ {\widehat{\Lambda }}_{31}& 0& {\widehat{\Lambda }}_{30}\end{array}\right]+\widehat{\mu }\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{22}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{03}\end{array}\right],\widehat{\mu }\in \left(0;+\infty \right).$

Зададим положения, достаточные для сходимости приводимого далее итерационного процесса в развиваемом методе итерационных расширений:

$\exists {\widehat{\delta }}_1\in \left(0;+\infty \right),{\widehat{\delta }}_2\in \left[{\widehat{\delta }}_1;+\infty \right):{\widehat{\delta }}_1^2\widehat{C}{\overline{v}}_3,\widehat{C}{\overline{v}}_3\le {\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3,{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3\le {\widehat{\delta }}_2^2\widehat{C}{\overline{v}}_3,\widehat{C}{\overline{v}}_3\forall {\overline{v}}_3\in {\overline{V}}_3\widehat{,}\exists \widehat{\alpha }\in \left(0;+\infty \right):{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}{\overline{v}}_3,{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}{\overline{v}}_3\le {\widehat{\alpha }}^2{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3,{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3\forall {\overline{v}}_3\in {\overline{V}}_3.$ Для нахождения приближенного решения исходной задачи после ее редукции к системе линейных алгебраических уравнений приведем развиваемый метод итерационных расширений. В этом методе используем дополнительные параметры, минимизируем ошибку в более сильной норме, т. е. выбираем итерационный параметр при минимизации невязок:

${\overline{u}}^k\in {ℝ}^N:\widehat{C}\left({\overline{u}}^k-{\overline{u}}^{k-1}\right)=-{\tau }_{k-1}\left(\widehat{B}{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}\right),k\in \mathbb{N},$ (7)

$\forall {\overline{u}}^0\in {\overline{V}}_1,\widehat{\alpha }<\widehat{\mu },{\tau }_0=\mathrm{1,}{\tau }_{k-1}=\frac{{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}}{{\overline{\eta }}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}},k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\},$

Здесь при вычислении оптимального итерационного параметра необходимо поитерационно вычислять векторы невязок, векторы поправок и так называемые векторы эквивалентных невязок

${\overline{r}}^{k-1}=\widehat{B}{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f},{\overline{w}}^{k-1}={\widehat{C}}_{ }^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}=\widehat{B}{\overline{w}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

Задаем норму

${\overline{v}}_{{\widehat{C}}^2}=\sqrt{{\widehat{C}}^2\overline{v},\stackrel{}{\overline{v}}}\forall \overline{v}\in {ℝ}^N.$

Теорема 2. В методе итерационных расширений из (7) при решении задачи в (6)

${\overline{u}}^k-{\overline{u}}_{{\widehat{C}}^2}\le \widehat{\epsilon }{\overline{u}}^0-{\overline{u}}_{{\widehat{C}}^2},\widehat{\epsilon }=2\left(\widehat{\delta }\frac{2}{{\widehat{\delta }}_1}\right)({\frac{\widehat{\alpha }}{\widehat{\mu })}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

Данный результат получается аналогично с результатами в [4, 5].

А теперь продолженную задачу аппроксимируем в соответствии с применяемым выше методом конечных элементов, но по смешанному методу аппроксимации по частям [6], тогда получаем в матричной форме систему линейных алгебраических уравнений, записываемую в соответствующем виде

$\overline{u}\in {ℝ}^N:B\overline{u}=\overline{f},\overline{f}\in {ℝ}^N.$  (8)

Полагаем, что при аппроксимации области ${\Omega }_1и {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}$ аппроксимируются областями ${\Omega }_{h\mathrm{,1}},{\Omega }_{h,{\rm I}{\rm I}}$, границы которых проходят/совпадают с линиями сетки.

Здесь также выбираем конкретный оператор проектирования, который во введенном конечномерном подпространстве зануляет коффициенты при базисных функциях с носителями, не содержащимися в замыкании первой области. Нумеруем в первом блоке коэффициенты при базисных функциях с носителями, содержащимися в ${\overline{\Omega }}_{h\mathrm{,1}}.$ Нумеруем во втором блоке коэффициенты при базисных функциях с носителями, содержащимися в ${\overline{\Omega }}_{h,{\rm I}{\rm I}}.$ И нумеруем в последнем, третьем блоке остальные коэффициенты при остальных базисных функциях. При этой нумерации коэффициентов при базисных функциях тремя блоками рассматриваемые векторы из коффициентов перед базисными функциями принимают такую блочную форму:

$\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}},\overline{u}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}})}^{\text{'}},\overline{f}={({\overline{f}}_1{}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}})}^{\text{'}}.$

Продолженная матрица принимает следующую блочную форму:

$B=\left[\begin{array}{ccc}{\Lambda }_{11}& 0& {\Lambda }_{13}\\ 0& {\Lambda }_{22}& {\Lambda }_{23}\\ 0& {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{03}\end{array}\right].$

Продолженная задача после аппроксимации записывается в следующей форме:

$\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ {\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]\in {ℝ}^N:\left[\begin{array}{ccc}{\Lambda }_{11}& 0& {\Lambda }_{13}\\ 0& {\Lambda }_{22}& {\Lambda }_{23}\\ 0& {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{03}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ {\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\overline{f}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{\overline{f}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right]\in {ℝ}^N,$ где $\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ {\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right].$

Исходная задача после аппроксимации записывается в форме:

${\Lambda }_{11}{\stackrel{}{\overline{u}}}_1={\stackrel{}{\overline{f}}}_1.$ 

Фиктивная задача после аппроксимации записывается в форме:

$\left[\begin{array}{cc}{\Lambda }_{22}& {\Lambda }_{23}\\ {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{03}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right],$ где $\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right].$

Задаем матрицы, определяемые из скалярных произведений:

${\Lambda }_{{\rm I}}\overline{u},\overline{v}={\Lambda }_1\left(\tilde{u},\tilde{v}\right),{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\overline{u},\overline{v}={\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}\left(\tilde{u},\tilde{v}\right)\forall \tilde{u},\tilde{v}\in \tilde{V}.$.

Эти матрицы принимают следующую блочную форму:

${\Lambda }_{{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}{\Lambda }_{11}& 0& {\Lambda }_{13}\\ 0& 0& 0\\ {\Lambda }_{31}& 0& {\Lambda }_{30}\end{array}\right],{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\Lambda }_{22}& {\Lambda }_{23}\\ 0& {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{03}\end{array}\right].$

Вводим векторные подпространства:

${\overline{V}}_1=\left\{\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_2=\overline{0},{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\},$

${\overline{V}}_2=\left\{\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_1=\overline{0},{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}.$

Еще дополнительно определяем векторное подпространство:

${\overline{V}}_3=\left\{\overline{v}={({\overline{v}}_1{}^{\text{'}},{\overline{v}}_2{}^{\text{'}},{\overline{v}}_3{}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\Lambda }_{11}{\overline{v}}_1+{\Lambda }_{13}{\overline{v}}_3=\overline{0},{\Lambda }_{22}{\overline{v}}_2+{\Lambda }_{23}{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}.$

Можно отметить, что

${ℝ}^N={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_2\oplus {\overline{V}}_3={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_{{\rm I}{\rm I}}$,

при

${\overline{V}}_{{\rm I}}={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_3,{\overline{V}}_{{\rm I}{\rm I}}={\overline{V}}_2\oplus {\overline{V}}_3.$

Оеделим расширенную матрицу

$C={\Lambda }_{{\rm I}}+\mu {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}},$

$\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& 0& C_{13}\\ 0& C_{22}& C_{23}\\ C_{31}& C_{32}& C_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\Lambda }_{11}& 0& {\Lambda }_{13}\\ 0& 0& 0\\ {\Lambda }_{31}& 0& {\Lambda }_{30}\end{array}\right]+\mu \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\Lambda }_{22}& {\Lambda }_{23}\\ 0& {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{03}\end{array}\right],\mu \in \left(0;+\infty \right).$

Зададим положения, достаточные для сходимости приводимого далее итерационного процесса в развиваемом методе итерационных расширений:

$\exists {\delta }_1\in \left(0;+\infty \right),{\delta }_2\in \left[{\delta }_1;+\infty \right):{\delta }_1^{2}C{\overline{v}}_3,C{\overline{v}}_3\le {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3,{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3\le {\delta }_2^{2}C{\overline{v}}_3,C{\overline{v}}_3\forall {\overline{v}}_3\in {\overline{V}}_3,\exists \alpha \in \left(0;+\infty \right):{\Lambda }_{{\rm I}}{\overline{v}}_3,{\Lambda }_{{\rm I}}{\overline{v}}_3\le {\alpha }^2{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3,{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_3\forall {\overline{v}}_3\in {\overline{V}}_3.$

Для нахождения приближенного решения исходной задачи после ее редукции к системе линейных алгебраических уравнений приведем развиваемый метод итерационных расширений. В этом методе используем дополнительные параметры, минимизируем ошибку в более сильной норме, т. е. выбираем итерационный параметр при минимизации невязок.

${\overline{u}}^k\in {ℝ}^N:C\left({\overline{u}}^k-{\overline{u}}^{k-1}\right)=-{\tau }_{k-1}\left(B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}\right),k\in \mathbb{N},$ (9)

$\forall {\overline{u}}^0\in {\overline{V}}_1,\alpha <\mu ,{\tau }_0=\mathrm{1,}{\tau }_{k-1}=\frac{{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}}{{\overline{\eta }}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}},k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}.$

Здесь при вычислении оптимального итерационного параметра необходимо поитерационно вычислять векторы невязок, векторы поправок и так называемые векторы эквивалентных невязок

${\overline{r}}^{k-1}=B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f},{\overline{w}}^{k-1}=C_{ }^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}=B{\overline{w}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

Задаем норму

${\overline{v}}_{C^2}=\sqrt{C^2\overline{v},\overline{v}}\forall \overline{v}\in {ℝ}^N.$

Теорема 3. В методе итерационных расширений из (9) при решении задачи в (1), (2), (3), (8)

${\overline{u}}^k-{\overline{u}}_{C^2}\le \epsilon {\overline{u}}^0-{\overline{u}}_{C^2},\epsilon =2\left(\delta \frac{2}{{\delta }_1}\right)({\frac{\alpha }{\mu )}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

Данный результат получается аналогично с результатами в [4, 5].

Выпишем алгоритм, в котором реализуем развиваемый метод итерационных расширений.

1. Начальное приближение, начальный параметр

$\forall {\overline{u}}^0\in {\overline{V}}_1,{\tau }_0=1.$

2. Вектор невязки

${\overline{r}}^{k-1}=B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f},k\in \mathbb{N}.$

3. Норма абсолютной ошибки в квадрате

$e_{k-1}={\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

4. Вектор поправки

${\overline{w}}^{k-1}:C{\overline{w}}^{k-1}={\overline{r}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

5. Вектор эквивалентной невязки

${\overline{\eta }}^{k-1}=B{\overline{w}}^{k-1},k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}.$

6. Оптимальный итерационный параметр

${\tau }_{k-1}=\frac{{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}}{{\overline{\eta }}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}},k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}.$

7. Вектор приближения

${\overline{u}}^k={\overline{u}}^{k-1}-{\tau }_{k-1}{\overline{w}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

8. Критерий остановки итераций

$e_{k-1}\le {\delta }^2{e}_0,k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\},\delta \in \left(0;1\right).$

Пример 1. Рассматривалось численное решение задачи при условиях, что константы $a_1,{\rho }_1=\mathrm{1,}$ исходная L-образная область дополнялась до квадратной области

${\Omega }_1=\left(0;\mathrm{3,5}\right)\times \left(0;\mathrm{3,5}\right)\backslash \left[1;\mathrm{3,5}\right)\times \left[1;\mathrm{3,5}\right),{\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}=\left(1;\mathrm{3,5}\right)\times \left(1;\mathrm{3,5}\right),\Pi =\left(0;\mathrm{3,5}\right)\times \left(0;\mathrm{3,5}\right),$ границы областей имели следующие части:

${\gamma }_{\mathrm{1,0}}=\left\{1\right\}\times \left(1;\mathrm{3,5}\right)\cup \left(1;\mathrm{3,5}\right)\times \left\{1\right\},$ ${\gamma }_{\mathrm{1,1}}=\left\{\mathrm{3,5}\right\}\times \left(0;1\right)\cup \left(0;1\right)\times \left\{\mathrm{3,5}\right\},{\gamma }_{\mathrm{1,2}}=\left\{0\right\}\times \left(0;\mathrm{3,5}\right)\cup \left(0;\mathrm{3,5}\right)\times \left\{0\right\},$