Determination of unknown parameters of a piecewise linear risk function by the method of mixed estimation

Full Text

Введение

Комплексный анализ сложных систем самого различного характера часто предполагает необходимость изучения некоторых аспектов их функционирования, связанных с риском. Весьма эффективны при этом методы математического моделирования. Так, в работе [1] представлена новая байесовская структура вывода, которая обеспечивает «подгонку» математической модели под задачу оптимизации эффективности прогнозирования в отношении несбалансированных затрат на ошибочную классификацию в медицине. Статья [2] посвящена построению и оценке байесовского индекса для измерения риска информационной безопасности (ИБ) предприятий. Интегрируя мнения экспертов по ИБ, строится количественная модель этого байесовского индекса. Такой подход позволяет предприятиям осознать свой риск ИБ и принимать более эффективные решения для его снижения. С помощью метода Дельфи и подробных интервью с экспертами в предметной области факторы риска сгруппированы в пять категорий, охватывающих 29 элементов. В [3] с помощью стохастического подхода производится оценка экономического риска при покупке электрогенератора для обеспечения энергией в пиковое время. В [4] показано, как можно применить математический аппарат теории управляемых марковских полей для моделирования катастрофических рисков, вызванных природными явлениями или террористическими угрозами. Приведены примеры постановок задач долгосрочного инвестирования в сферу безопасности. Предлагается обзор методов решения стохастических задач оптимального управления, к которым сводятся такие постановки. В статье [5] анализ устойчивости суверенного долга выполняется с использованием стохастических коррелированных факторов риска, что позволяет фиксировать так называемые хвостовые эффекты. Публикация [6] посвящена построению экономико-математических моделей для оценки рисков при выборе стратегии развития предприятия на основе анализа его прибыли и издержек в условиях неопределённости. В [7] описаны модели оценки уровней привнесенного и собственного риска производственного звена, а также модель оценки действенности мероприятий, направленных на снижение риска. В качестве теоретической базы исследования применяются вероятностный и нечетко-множественный подходы. В статье [8] представлена методика построения количественных оценок риска и уязвимости с использованием прямого, обратного моделирования и некоторых методов теории чувствительности. В [9] описана математическая модель вычисления оценок информационных рисков транспортировки и распределении ресурсов в условиях неопределенности. Под информационными рисками при этом понимается опасность увеличения убытков или ущерба в результате применения соответствующих информационных технологий.

Результаты и обсуждение

В работах [10-12] описана кусочно-линейная регрессионная модель риска:

$y_k=\max \left\{{\alpha }_1{x}_{k1},{\alpha }_2{x}_{k2}\mathrm{,...,}{\alpha }_m{x}_{km}\right\}+{\epsilon }_k$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}$,                                             (1)

где k – номер наблюдения, y и x_i, $i=\overline{\mathrm{1,}m}$ – соответственно, зависимая и независимые переменные, значения которых известны, α_i, $i=\overline{\mathrm{1,}m}$ – подлежащие определению параметры, ɛ_k – ошибки приближения, n – длина выборки.

В качестве переменных y  и x_i  могут использоваться негативные для объекта исследования факторы, в частности убытки, уровень травматизма, уязвимость, технические сбои, ущерб и т.д.

В [10-12] представлен способ оценивания параметров модели риска (1) с помощью метода наименьших модулей (МНМ), сводящийся в этом случае к решению задачи линейно-булевого программирования (ЛБП). В настоящей работе мы рассмотрим случай определения этих оценок на основе применения метода смешанного оценивания (МСО). В работах [13-15] он описан для решения задачи идентификации параметров линейного регрессионного уравнения:

$y_k=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{x}_{ki}+{\epsilon }_k,k\in P=\left\{\mathrm{1,2,...,}n\right\}.$                                                          (2)

Суть МСО в простейшем случае состоит в следующем. Пусть исходная выборка данных с номерами наблюдений из индексного множества P из соображений формального или содержательного (что бывает значительно чаще) характера разделена на две непересекающиеся части (подвыборки) с номерами N₁ = $\left\{\mathrm{1,2,...,}\overline{n}\right\}$ и N₂ = $\{\overline{n}+\mathrm{1,}\overline{n}+\mathrm{2,...,}n\}$. При этом на подвыборке N₁ МСО «работает» как МНМ, а на N₂ - как метод антиробастного оценивания (МАО) [16-18]. Это означает, что МСО позволяет решать задачу минимизации двухкритериальной функции потерь:

$J^1\left(\alpha \right)=\sum _{k\in N_1}\left|{\epsilon }_k\right|\to \min ,$                                                                           (3)

$J^2\left(\alpha \right)=\underset{}{\underset{k\in N_2}{\max }}\left|{\epsilon }_k\right|\to \min .$                                                                           (4)

Применение метода смешанного оценивания при решении задачи определения параметров кусочно-линейного регрессионного уравнения (1) на основе использования результатов, описанных в работах [10-18], позволяет свести ее к следующей задаче ЛБП:

$z_k+u_k-v_k=y_k$ , $k=\overline{\mathrm{1,}n}$,                                                                         (5)

$z_k\ge {\alpha }_i{x}_{ki},i=\overline{\mathrm{1,}m},$    $k=\overline{\mathrm{1,}n}$,                                                                    (6)

${\alpha }_i{x}_{ki}-z_k\ge \left({\sigma }_{ki}-1\right)M$, $k=\overline{\mathrm{1,}n}, i=\overline{\mathrm{1,}m},$                                                    (7)

$\sum _{i=1}^m{\sigma }_{ki}=1, k=\overline{\mathrm{1,}n}$,                                                                                 (8)

$u_k+v_k-r\le 0$, $k\in N_2$,                                                                            (9)

$u_k\ge \mathrm{0,}{v}_k\ge \mathrm{0,}{z}_k\ge \mathrm{0,}$ $k=\overline{\mathrm{1,}n}$,                                                                 (10)

${\sigma }_{ki}\in \left\{\mathrm{0,1}\right\},k=\overline{\mathrm{1,}n},i=\overline{\mathrm{1,}m}$,                                                                    (11)

$\sum _{k\in N_1}(u_k+v_k)/\overline{n}+r\to \min .$                                                                    (12)

Здесь М – наперед заданное большое положительное число. Полученные значения z_k, k = $\overline{\mathrm{1,}n}$ будут представлять собой расчетные (т.е. вычисленные по модели) значения зависимой переменной у.

Задача ЛБП (5)-(12) содержит m+3n+1 вещественных и mn булевых переменных и 2n(m+1)+n-$n$  ограничений без условий неотрицательности и булевости.

Пример

Пусть выборка данных имеет вид:

$Х=\left(\begin{array}{l}25\\ 93\\ 74\\ 18\end{array}\right),у=\left(\begin{array}{l}7\\ 3\\ 9\\ 6\end{array}\right).$

Сформируем индексные множества N₁ и N₂ следующим образом:

N₁ = {1,2},  N₂ = {3,4}

Вначале построим модель (1) с помощью метода наименьших модулей в соответствии с описанным в работах [10-12] алгоритмом. В результате получим:

$y_k=\max \left\{0.333x_{k1}\mathrm{,1.0}{x}_{k2}\right\}+{\epsilon }_k$, $k=\overline{\mathrm{1,4}}$.                                                 (13)

При этом вектора z расчетных значений у и ошибок аппроксимации ɛ, а также максимальная ошибка r  на подвыборке N₂ соответственно равны:

z = (5,3,4,8), ɛ = (2,0,5, - 2), r = 5,

Теперь решим задачу ЛБП (5)-(12). Она имеет 15 вещественных и 8 булевых переменных, а также 26 ограничений. В результате получим:

$y_k=\max \left\{0.416x_{k1}\mathrm{,1.25}{x}_{k2}\right\}+{\epsilon }_k$, $k=\overline{\mathrm{1,4}}$,                                              (14)

$z=\left(\mathrm{6.25,3.75,5,10}\right), \epsilon =\left(\mathrm{0.75,}-\mathrm{0.75,4,}-4\right), r=4.$

Нетрудно видеть, что параметры кусочно-линейных моделей риска (14) и (15) существенно различаются. При этом при переходе от первой модели ко второй сумма модулей ошибок аппроксимации, соответствующая МНМ, увеличилась на 0.25, а максимальная ошибка на подвыборке N₂, напротив, уменьшилась на единицу.

Заключение и выводы

В работе на основе применения полученных ранее результатов автора описан алгоритмический способ определения оценок параметров кусочно-линейной регрессионной функции риска методом смешанного оценивания, сводящийся к решению задачи линейно-булевого программирования допустимой при исследовании реальных практических проблем размерности.

About the authors

Sergey I. Noskov

Author for correspondence.
Email: sergey.noskov.57@mail.ru

Doctor of Technical Sciences, Professor Professor of the Department of Information Systems and Information Security

References

Supplementary files