Определение неизвестных параметров кусочно-линейной функции риска методом смешанного оценивания
- Авторы: Носков С.И.1
-
Учреждения:
- Иркутский государственный университет путей сообщения
- Выпуск: Том 19, № 2 (2023)
- Страницы: 17-21
- Раздел: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
- URL: https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/561038
- DOI: https://doi.org/10.18822/byusu20230217-21
- ID: 561038
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Предмет исследования: задача определения параметров кусочно-линейной функции риска.
Цель исследования: применить аппарат линейно-булевого программирования для решения этой задачи.
Методы и объекты исследования: объектом исследования является формализация содержательной постановки проблемы минимизации риска нежелательных последствий функционирования анализируемой системы, методами – регрессионный анализ и аппарат математического программирования.
Основные результаты исследования: описан подход к определению оценок параметров кусочно-линейной функции риска посредством применения метода смешанного оценивания, что позволяет свести эту задачу к задаче линейно-булевого программирования. Решен численный пример.
Полный текст
Введение
Комплексный анализ сложных систем самого различного характера часто предполагает необходимость изучения некоторых аспектов их функционирования, связанных с риском. Весьма эффективны при этом методы математического моделирования. Так, в работе [1] представлена новая байесовская структура вывода, которая обеспечивает «подгонку» математической модели под задачу оптимизации эффективности прогнозирования в отношении несбалансированных затрат на ошибочную классификацию в медицине. Статья [2] посвящена построению и оценке байесовского индекса для измерения риска информационной безопасности (ИБ) предприятий. Интегрируя мнения экспертов по ИБ, строится количественная модель этого байесовского индекса. Такой подход позволяет предприятиям осознать свой риск ИБ и принимать более эффективные решения для его снижения. С помощью метода Дельфи и подробных интервью с экспертами в предметной области факторы риска сгруппированы в пять категорий, охватывающих 29 элементов. В [3] с помощью стохастического подхода производится оценка экономического риска при покупке электрогенератора для обеспечения энергией в пиковое время. В [4] показано, как можно применить математический аппарат теории управляемых марковских полей для моделирования катастрофических рисков, вызванных природными явлениями или террористическими угрозами. Приведены примеры постановок задач долгосрочного инвестирования в сферу безопасности. Предлагается обзор методов решения стохастических задач оптимального управления, к которым сводятся такие постановки. В статье [5] анализ устойчивости суверенного долга выполняется с использованием стохастических коррелированных факторов риска, что позволяет фиксировать так называемые хвостовые эффекты. Публикация [6] посвящена построению экономико-математических моделей для оценки рисков при выборе стратегии развития предприятия на основе анализа его прибыли и издержек в условиях неопределённости. В [7] описаны модели оценки уровней привнесенного и собственного риска производственного звена, а также модель оценки действенности мероприятий, направленных на снижение риска. В качестве теоретической базы исследования применяются вероятностный и нечетко-множественный подходы. В статье [8] представлена методика построения количественных оценок риска и уязвимости с использованием прямого, обратного моделирования и некоторых методов теории чувствительности. В [9] описана математическая модель вычисления оценок информационных рисков транспортировки и распределении ресурсов в условиях неопределенности. Под информационными рисками при этом понимается опасность увеличения убытков или ущерба в результате применения соответствующих информационных технологий.
Результаты и обсуждение
В работах [10-12] описана кусочно-линейная регрессионная модель риска:
, , (1)
где k – номер наблюдения, y и xi, – соответственно, зависимая и независимые переменные, значения которых известны, αi, – подлежащие определению параметры, ɛk – ошибки приближения, n – длина выборки.
В качестве переменных y и xi могут использоваться негативные для объекта исследования факторы, в частности убытки, уровень травматизма, уязвимость, технические сбои, ущерб и т.д.
В [10-12] представлен способ оценивания параметров модели риска (1) с помощью метода наименьших модулей (МНМ), сводящийся в этом случае к решению задачи линейно-булевого программирования (ЛБП). В настоящей работе мы рассмотрим случай определения этих оценок на основе применения метода смешанного оценивания (МСО). В работах [13-15] он описан для решения задачи идентификации параметров линейного регрессионного уравнения:
(2)
Суть МСО в простейшем случае состоит в следующем. Пусть исходная выборка данных с номерами наблюдений из индексного множества P из соображений формального или содержательного (что бывает значительно чаще) характера разделена на две непересекающиеся части (подвыборки) с номерами N1 = и N2 = . При этом на подвыборке N1 МСО «работает» как МНМ, а на N2 - как метод антиробастного оценивания (МАО) [16-18]. Это означает, что МСО позволяет решать задачу минимизации двухкритериальной функции потерь:
(3)
(4)
Применение метода смешанного оценивания при решении задачи определения параметров кусочно-линейного регрессионного уравнения (1) на основе использования результатов, описанных в работах [10-18], позволяет свести ее к следующей задаче ЛБП:
, , (5)
, (6)
, (7)
, (8)
, , (9)
, (10)
, (11)
(12)
Здесь М – наперед заданное большое положительное число. Полученные значения zk, k = будут представлять собой расчетные (т.е. вычисленные по модели) значения зависимой переменной у.
Задача ЛБП (5)-(12) содержит m+3n+1 вещественных и mn булевых переменных и 2n(m+1)+n- ограничений без условий неотрицательности и булевости.
Пример
Пусть выборка данных имеет вид:
Сформируем индексные множества N1 и N2 следующим образом:
N1 = {1,2}, N2 = {3,4}
Вначале построим модель (1) с помощью метода наименьших модулей в соответствии с описанным в работах [10-12] алгоритмом. В результате получим:
, . (13)
При этом вектора z расчетных значений у и ошибок аппроксимации ɛ, а также максимальная ошибка r на подвыборке N2 соответственно равны:
z = (5,3,4,8), ɛ = (2,0,5, - 2), r = 5,
Теперь решим задачу ЛБП (5)-(12). Она имеет 15 вещественных и 8 булевых переменных, а также 26 ограничений. В результате получим:
, , (14)
Нетрудно видеть, что параметры кусочно-линейных моделей риска (14) и (15) существенно различаются. При этом при переходе от первой модели ко второй сумма модулей ошибок аппроксимации, соответствующая МНМ, увеличилась на 0.25, а максимальная ошибка на подвыборке N2, напротив, уменьшилась на единицу.
Заключение и выводы
В работе на основе применения полученных ранее результатов автора описан алгоритмический способ определения оценок параметров кусочно-линейной регрессионной функции риска методом смешанного оценивания, сводящийся к решению задачи линейно-булевого программирования допустимой при исследовании реальных практических проблем размерности.
Об авторах
Сергей Иванович Носков
Иркутский государственный университет путей сообщения
Автор, ответственный за переписку.
Email: sergey.noskov.57@mail.ru
доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Информационные системы и защита информации»
Россия, ИркутскСписок литературы
- Karapanagiotis, S. Tailored Bayes: a risk modeling framework under unequal misclassification costs / S. Karapanagiotis, U. Benedetto, S. Mukherjee, P. D. W. Kirk, P. J. Newcombe // Biostatistics. – 2023. – V. 24. – № 1. – P. 85–107.
- Chien-Lung, Chan. Information Security Risk Modeling Using Bayesian Index Arrow // The Computer Journal. – 2011. – V. 54. – № 4. – P. 628–638.
- Zaroni, H. Monte Carlo Simulation approach for economic risk analysis of an emergency energy generation system / H. Zaroni, L. B. Maciel, D. B. Carvalho, Edson de O. Pamplona // Energy. – 2019. – V. 172, № 1. – P. 498–508.
- Haivoronskyy, O. O. Mathematical Modeling of Distributed Catastrophic and Terrorist Risks / O. O. Haivoronskyy, Yu. M. Ermoliev, P. S. Knopov, V. I. Norkin // Cybernetics and Systems Analysis. – 2015. – V. 51. – P. 85–95.
- Consiglio, A. Stochastic debt sustainability analysis for sovereigns and the scope for optimization modeling / A. Consiglio, S. A. Zenios // Optimization and Engineering volume. – 2017. – № 18. – Р. 537–558.
- Ковалева, А. В. Экономико-математическая модель оценки стратегического риска при выборе стратегии развития промышленного предприятия / А. В. Ковалева. – Текст : непосредственный // Инженерный вестник Дона. – 2012. – № 1 (19). – С. 356–364.
- Строев, С. П. Математические модели управления риском несостоятельности промышленного предприятия / С. П. Строев. – Текст : непосредственный // Continuum. Математика. Информатика. Образование. – 2021. – № 2 (22). – С. 89–98.
- Пененко, В. В. Математические модели для изучения рисков загрязнения природной среды / В. В, Пененко, Е. А. Цветова. – Текст : непосредственный // Прикладная механика и техническая физика. – 2004. – Т. 45, № 2 (264). – С. 136–146.
- Коробейников, А. Г., Проектирование математических моделей расчета оценки рисков перемещения материальных грузов на железнодорожных узлах с использованием лингвистических переменных / А. Корабейников, А. Зыков, В. И. Поляков, Д. Ю. Ашевский, С. А. Алексанин. – Текст : непосредственный // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. – 2015. – № 2 (58). – С. 68–73.
- Носков, С. И. Идентификация параметров кусочно-линейной функции риска / С. И. Носков. – Текст : непосредственный // Транспортная инфраструктура Сибирского региона. – 2017. – Т. 1. – С. 417–421.
- Носков, С. И., Применение функции риска для моделирования экономических систем / С. И. Носков, А. А. Хоняков. – Текст : непосредственный // Южно-Сибирский научный вестник. – 2020. – № 5 (33). – С. 85–92.
- Носков, С. И. Идентификация параметров комбинированной кусочно-линейной регрессионной модели / С. И. Носков. – Текст : непосредственный // Вестник Югорского государственного университета. – 2022. – № 4 (67). – С. 115–119.
- Носков, С. И. О методе смешанного оценивания параметров линейной регрессии / С. И. Носков. – Текст : непосредственный // Информационные технологии и математическое моделирование в управлении сложными системами. – 2019. – № 1. – С. 41–45.
- Носков, С. И. Эмпирический анализ некоторых свойств метода смешанного оценивания параметров линейного регрессионного уравнения / С. И. Носков, К. С. Перфильева. – Текст : непосредственный // Наука и бизнес: пути развития. – 2020. – № 6. – С. 62–66.
- Носков, С. И. Метод смешанного оценивания параметров линейной регрессии для данных с интервальной неопределенностью / С.И. Носков. – Текст : непосредственный // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. – 2022. – № 9. – С. 274–277.
- Носков, С. И. Метод антиробастного оценивания параметров линейной регрессии: число максимальных по модулю ошибок аппроксимации / С. И. Носков. – Текст : непосредственный // Южно-Сибирский научный вестник. – 2020. – № 1. – С. 51–54.
- Носков, С. И. Выбор метода оценивания параметров линейной регрессии на основе выявления аномальных наблюдений / – Текст : непосредственный // Вестник Воронежского государственного технического университета. – 2021. – т. 17. – № 2. – С. 24–29.
- Носков, С. И. Сравнительная оценка значимости предикторов при использовании различных методов идентификации параметров регрессионной модели / С. И. Носков. – Текст : непосредственный // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. – 2021. – № 9. – С. 228–230.