On some operating modes of a submersible induction electric motor

Full Text

Введение

На территории России, по данным за 2021 год, количество действующих нефтяных скважин превышало 130 тысяч единиц. Основным типом механизированного фонда нефтедобычи по-прежнему остаются установки электроцентробежных насосов (УЭЦН) [1, стр.95]. Привод центробежного насоса, как правило, осуществляется погружным асинхронным электрическим двигателем (ПЭД). Отметим, что начинает возрастать и доля синхронных электродвигателей, несмотря на их большую стоимость. Указанное выше значительное количество ПЭД в составе УЭЦН, определяет, как надежность всего процесса добычи нефти, так и направление работ, направленных на уменьшение времени внутрисменных простоев, при эксплуатации фонда скважин. Одно из направлений таких работ вызвано эксплуатацией скважин содержащих механические примеси высоких концентраций в нефтесодержащей жидкости. Отмеченное обстоятельство может приводить к частым заклиниваниям УЭЦН. Соответственно требуется создать условия для повторного запуска скважин. При этом появляется ряд требований к ПЭД: создание максимального момента допускаемого конкретной конструкцией УЭЦН, ограничение на величину тока потребляемого в режиме расклинивания. Ограничения на величину тока в режиме расклинивания обусловлены возникающим тепловым режимом ПЭД и соответствующей деградацией изоляции обмотки статора ПЭД. С другой стороны, для обеспечения максимального момента в режиме расклинивания, требуется «максимальный» ток [2]. Разрешение возникшего противоречия с необходимостью требует построения математической модели ПЭД в режиме расклинивания и последующего применения процедур оптимизации, для определения параметров системы управления [3]. Определяющим фактором здесь становится необходимость управления ПЭД находящимся в условиях нестационарных воздействий, в том числе температурных [4, 5]. Что, в конечном итоге, сводится к предиктивному управлению по математической модели ПЭД с непрерывной идентификацией ее параметров [6-11].

Результаты и обсуждение

В направлении реализации данного подхода предлагается использовать методы планирования эксперимента – эквивалентирование энергетических зависимостей ПЭД полиномами вида [12-16]:

${\text{y=b}}_{\text{0}}{\text{+b}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{1}}{\text{+b}}_{\text{2}}{\text{x}}_{\text{2}}\text{+}\dots {\text{+b}}_{\text{n}}{\text{x}}_{\text{n}}{\text{+b}}_{\text{12}}{\text{x}}_{\text{1}}{\text{x}}_{\text{2}}\text{+}\dots {\text{+b}}_{\text{n-1.n}}{\text{x}}_{\text{n-1}}{\text{x}}_{\text{n}}{\text{+b}}_{\text{11 }}{{\text{x}}_{\text{1}}}^{\text{2}}\text{+}\dots {\text{+b}}_{\text{nn}}{{\text{x}}_{\text{n}}}^{\text{2}}$ (1)

где $y$ – энергетическая характеристика ПЭД; $x_i$ – энергетические параметры; $b_i$ – коэффициенты модели в поле ее применимости.

Нахождение коэффициентов модели (1), выявление ее оптимального состава выполняется в рамках основных положений теории МПЭ [12, 15], в результате требуется проведение  опытов над объектом (в нашем случае – ПЭД в составе УЭЦН), подчиненных определенным правилам. Отметим, что в данной работе вычислительные эксперименты – моделируют реальную работу ПЭД в неноминальных условиях.

После ряда преобразований уравнения (1), можно получить матричную форму записи для искомых коэффициентов модели:

$B=C^{-1}{X}^{T}Y$, (2)

где $C=X^{T}X$, $X$ – матрица планирования.

Потребуем для матрицы $X$ – наличия свойств ортогональности:

${\sum }_{j=1}^N{x}_{kj}{x}_{ij}={\sum }_{j=1}^N{x}_{ij}{x}_{kj}=0$,   (3)

где индексами $k$ и $i$ – обозначены номера столбцов в матрице $X$.

Одновременно потребуем для матрицы Х наличия свойств симметричности:

${\sum }_{j=1}^N{x}_{ij}=0$.   (4)

Тогда коэффициенты рассчитываются по [12]:

$b_i={\sum }_{j=1}^N{x}_{ij}{y}_j/{\sum }_{j=1}^N{x_{ij}}^2$.   (5)

Выполнение поставленных требований (3, 4) обеспечивается процедурой «кодирования факторов» [12, 15]:

$x_i=\left(X_i-X_{0i}\right)/\Delta X_i$,    (6)

где $X_i$ – некоторый энергетический фактор (ЭФ), ${X_0}_i$ – номинальное значение (в нашем случае) энергетического фактора, $\Delta X_i$ – интервал возможных значений энергетического фактора. Тогда, для любого ЭФ его максимальное значение равно $+1$; и равно $-1$ минимальное значение ЭФ. Для построения модели вида (1), при количестве ЭФ равном $n$, потребуется $2^n$ экспериментов. Планы экспериментов, отвечающие условиям (2) – (6), принято называть планами первого порядка [12].

Вызывает определенный интерес, в плане повышения точности моделирования, построение математических моделей второго порядка. В качестве инструмента здесь можно использовать подходы, базирующиеся на «ортогональных центрально-композиционных планах второго порядка» [12, 15]. Композиция такого плана представляет собой собственно план ПФЭ (или ДФЭ), дополненный двумя точками $\alpha$ для каждого ЭФ и центральной точки $x_i$. Эти точки в литературе принято называть «звездными» [12]. Соответственно для каждого ЭФ мы получаем пять уровней для использования: $x_i(-\alpha ,-\mathrm{1,0,1,}\alpha )$. Количество необходимых опытов здесь возрастает до $N=2^n+2n+1$.

Введем в рассмотрение постоянную величину:

$q=\sqrt{2^n/N}$.   (7)

Преобразуем квадраты энергетических факторов по правилу:

$x_{ij}^{\text{'}}={x_{ij}}^2-q$,    (8)

и определим «звездные» точки [12]:

$\alpha =\sqrt{\frac{\sqrt{N\cdot 2^n}-2^n}{2}}$.    (9)

Эти преобразования позволяют перейти к определению искомых коэффициентов в уравнении (1) в соответствии с выражением (5).

Применение данного подхода требует внимательного определения области допустимого применения получаемых математических моделей.

Рассмотрим предложенный выше подход на примере моделирования погружного электродвигателя марки ЭД(Т) 45-117-1000. Для тестирования используем данные о значениях номинальных параметров из работы [17]:

 

Таблица 1 – Номинальные параметры ЭД(Т) 45-117-1000

Uн, В	P2н, кВт	I1н, А	cosφн, о.е.	P1н, кВт	ηн, %
1000	45	36,3	0,88	55	82

 

Примем значения параметров Т-образной схемы замещения ЭД(Т) 45-117-1000, в соответствии с работой [17], следующими: $R_1=\mathrm{0,660}$; $X_1=\mathrm{1,39}$; $R{\text{'}}_2=\mathrm{0,968}$; $X{\text{'}}_2=\mathrm{1,39}$; $R_{\mu }=\mathrm{6,37}$; $X_{\mu }=\mathrm{39,6}$.

Отметим, что вопросы идентификации параметров схемы замещения ПЭД детально рассматривались в работах [13, 17, 18] и не являются предметом данной статьи.

Введем допущения: «параметры схем замещения элементарных электрических машин составляющих ПЭД – равны» [19]; рассматриваем режим «расклинивания» при скольжении $s=1$[2]; температурными вариациями [17, 20] пренебрегаем; насыщением магнитной системы пренебрегаем. При этом варьируются следующие параметры Т-образной схемы замещения ПЭД: $R{\text{'}}_2$, $X{\text{'}}_2$, $R_{\mu }$, $X_{\mu }$, $U_1$. Выбор для анализа возможных вариаций параметров $R{\text{'}}_2$, $X{\text{'}}_2$, $R_{\mu }$, $X_{\mu }$ – обусловлен существующими особенностями технологии изготовления ПЭД и влиянием режима эксплуатации ПЭД.

Включение частоты напряжения в спектр варьируемых параметров, в данном случае не производится, так как это принципиально не изменяет характер выполнения дальнейших выкладок и существенно снижает объем предоставляемой информации.

Находим зависимости в форме (1) для электромагнитного момента $M$:

$M=M(R{\text{'}}_2,X{\text{'}}_2,R_{\mu },X_{\mu },U_1)$

и для потребляемого тока $I_1$:

$I_1=I_1(R{\text{'}}_2,X{\text{'}}_2,R_{\mu },X_{\mu },U_1)$

Применим ортогональный центрально-композиционный план второго порядка для набора из пяти компонент: $R{\text{'}}_2$, $X{\text{'}}_2$, $R_{\mu }$, $X_{\mu }$, $U_1$. При этом все выбранные компоненты считаем изменяющимися. Диапазон изменений для $R{\text{'}}_2$, $X{\text{'}}_2$, $R_{\mu }$, $X_{\mu }$, – примем  от номинальных значений; изменение фазного напряжения $U_1$ примем , что в совокупности образует факторное пространство (табл. 2).

 

Таблица 2 – Параметры факторного пространства

Фактор, xi	Параметр, ${\mathit{X}}_{\mathbf{i}}$	Нижний уровень, ${\mathit{X}}_{\min \mathit{i}}$	Верхний уровень, ${\mathit{X}}_{\max \mathit{i}}$	Основной уровень, ${\mathit{X}}_{0\mathit{i}}$	Интервал варьирования, $∆{\mathit{X}}_{\mathbf{i}}$
x1	R`2, Ом	0,726	1,21	0,968	0,242
x2	X`2, Ом	1,04	1,74	1,39	0,348
x3	Rµ, Ом	4,78	7,96	6,37	1,59
x4	Xµ, Ом	29,7	49,5	39,6	9,90
x5	U1, В	520	635	577	57,7

 

Процедура кодирования в соответствии с (6) и расчет «звездной» точки по (9) приводят к результатам:

$x_1=\left(R_2^{\text{'}}-\mathrm{0,968}\right)/\mathrm{0,242}$; $x_2=\left(X_2^{\text{'}}-\mathrm{1,390}\right)/\mathrm{0,348}$; $x_3=\left(R_{\mu }-\mathrm{6,370}\right)/\mathrm{1,593}$; $x_4=\left(X_{\mu }-\mathrm{39,606}\right)/\mathrm{9,902}$; $x_5=\left(U_1-\mathrm{577,350}\right)/\mathrm{57,735}$; $\alpha =\sqrt{\left(\sqrt{43\cdot 2^5}-2^5\right)/2}=\mathrm{1,596}$.

Фрагменты итогового плана вычислительного эксперимента представлены в табл.3. Выборка содержит максимальные и минимальные значения тока статора и электромагнитного момента.

 

Таблица 3 – План вычислительного эксперимента $\mathit{n}\mathbf{=}\mathbf{5}$ (фрагмент)

N	x1	x2	x3	x4	x5	…	x12	x22	x32	x42	x52	M, Н*м	I1, А
1	-1	-1	-1	-1	-1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	229	189
2	1	-1	-1	-1	-1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	316	172
3	-1	1	-1	-1	-1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	152	157
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
12	1	1	-1	1	-1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	227	145
13	-1	-1	1	1	-1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	233	187
14	1	-1	1	1	-1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	322	171
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
21	-1	-1	1	-1	1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	342	231
22	1	-1	1	-1	1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	472	211
23	-1	1	1	-1	1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	226	192
24	1	1	1	-1	1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	332	180
25	-1	-1	-1	1	1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	348	229
26	1	-1	-1	1	1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	482	209
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
32	1	1	1	1	1	…	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	340	178
33	-1,6	0	0	0	0	…	1,7	-0,9	-0,9	-0,9	1,7	193	193
34	1,6	0	0	0	0	…	1,7	-0,9	-0,9	-0,9	1,7	352	171
35	0	-1,6	0	0	0	…	-0,9	1,7	-0,9	-0,9	-0,9	393	211
36	0	1,6	0	0	0	…	-0,9	1,7	-0,9	-0,9	-0,9	214	160
37	0	0	-1,6	0	0	…	-0,9	-0,9	1,7	-0,9	-0,9	286	182
38	0	0	1,6	0	0	…	-0,9	-0,9	1,7	-0,9	-0,9	286	183
39	0	0	0	-1,6	0	…	-0,9	-0,9	-0,9	1,7	-0,9	279	185
40	0	0	0	1,6	0	…	-0,9	-0,9	-0,9	1,7	-0,9	289	182
41	0	0	0	0	-1,6	…	-0,9	-0,9	-0,9	-0,9	-0,9	202	153
42	0	0	0	0	1,6	…	-0,9	-0,9	-0,9	-0,9	-0,9	385	212
43	0	0	0	0	0	…	-0,9	-0,9	-0,9	-0,9	-0,9	286	183
Среднее значение											yср.	289	184

 

Аппроксимирующий полином (1) в данном случае примет вид:

$\begin{array}{l}y=b_0+b_1\cdot x_1+b_2\cdot x_2+b_3\cdot x_3+b_4\cdot x_4+b_5\cdot x_5+b_{12}\cdot x_1\cdot x_2+b_{13}\cdot x_1\cdot x_3+\\ +b_{14}\cdot x_1\cdot x_4+b_{15}\cdot x_1\cdot x_5+b_{23}\cdot x_2\cdot x_3+b_{24}\cdot x_2\cdot x_4+b_{25}\cdot x_2\cdot x_5+b_{34}\cdot x_3\cdot x_4+\\ +b_{35}\cdot x_3\cdot x_5+b_{45}\cdot x_4\cdot x_5+b_{123}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_3+b_{124}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_4+b_{125}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_5+\\ +b_{134}\cdot x_1\cdot x_3\cdot x_4+b_{135}\cdot x_1\cdot x_3\cdot x_5+b_{145}\cdot x_1\cdot x_4\cdot x_5+b_{234}\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4+\\ +b_{235}\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_5+b_{245}\cdot x_2\cdot x_4\cdot x_5+b_{345}\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5+b_{1234}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4+\\ +b_{1235}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_5+b_{1245}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_4\cdot x_5+b_{1345}\cdot x_1\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5+\\ +b_{2345}\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x_5+b_{12345}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot x_4\cdot x{}_5+b_{11}\cdot {x_1}^2+b_{22}\cdot {x_2}^2+\\ +b_{33}\cdot {x_3}^2+b_{44}\cdot {x_4}^2+b_{55}\cdot {x_5}^2\end{array}$ (10)

По выражению (5) вычисляем коэффициенты полинома для электромагнитного момента и потребляемого тока. Коэффициенты приведены в таблице (4).

Для упрощения выражения (10) исключим из рассмотрения компоненты, не влияющие существенно на результат, для чего рассчитаем дисперсии вида [15]:

${S_{bi}}^2={S_y}^2/{\sum }_{j=1}^N{x_{ij}}^2$,   (11)

Так как эксперимент вычислительный, то в выражении (11) дисперсию воспроизводимости ${S_y}^2$ можно вычислить по формуле [15]:

${S_y}^2=\frac{y^2\cdot A^2}{4\cdot {10}^4}$,     (12)

где $y$ – экспериментальная величина, (в нашей работе принято равным выборочному среднему – $y_{ср.}$), $A$ – точность, приемлемая для исследуемого объекта, или с которой можно определить величину , %. При этом число степеней свободы – $f_y=\infty$.

Примем: доверительная вероятность $p=95\%$, число степеней свободы $f_y=\infty$, тогда табличное значение критерия Стьюдента  [12]. Соответственно можно определить доверительные интервалы $\Delta b_i=t\cdot S_{bi}$. Коэффициенты, для которых не выполнено соотношение $\left|b_i\right|>\Delta b_i$, считаем не значимыми [15], и при построении модели ПЭД не используем. Итоговые результаты приведены в таблице 4.

 

Таблица 4 – Доверительные интервалы компонент модели ПЭД

	M		I1
Коэф.	знач.	∆b	знач.	∆b
b0	288,910	0,43	183,730	0,27
b1	49,896	0,46	-7,054	0,30
b2	-53,932	0,46	-15,912	0,30
b3	-8,703*10­-2	0,46	5,049*10­-2	0,30
b4	2,942	0,46	-9,429*10-­1	0,30
b5	57,280	0,46	18,373	0,30
b12	-5,266	0,50	1,950	0,32
b13	-4,459*10-­2	0,50	3,212*10­-2	0,32
b14	6,133*10­-1	0,50	-2,903*10-­2	0,32
b15	9,882	0,50	-7,105*10-­1	0,32
b23	4,251*10­-2	0,50	-2,297*10­-2	0,32
b24	-3,028*10­-1	0,50	-1,963*10­-1	0,32
b25	-10,616	0,50	-1,590	0,32
b34	3,775*10­-3	0,50	-1,123*10-­2	0,32
b35	-1,721*10-­2	0,50	5,038*10­-3	0,32
b45	5,742*10­-1	0,50	-9,250*10­-2	0,32
b123	1,527*10­-2	0,50	-1,280*10-­3	0,32
b124	-6,860*10­-2	0,50	-3,547*10-­3	0,32
b125	-1,043	0,50	1,950*10­-1	0,32
b134	1,234*10­-2	0,50	-1,388*10-­2	0,32
b135	-8,829*10-­3	0,50	3,212*10­-3	0,32
b145	1,215*10­-1	0,50	-2,903*10-­3	0,32
b234	-1,532*10­-2	0,50	1,270*10-­2	0,32
b235	8,418*10­-3	0,50	-2,297*10­-3	0,32
b245	-5,996*10­-2	0,50	-1,963*10-­2	0,32
b345	7,475*10­-4	0,50	-1,123*10­-3	0,32
b1234	-5,956*10­-3	0,50	6,650*10-­4	0,32
b1235	3,024*10­-3	0,50	-1,280*10­-4	0,32
b1245	-1,358*10­-2	0,50	-3,547*10­-4	0,32
b1345	2,443*10­-3	0,50	-1,388*10-­3	0,32
b2345	-3,033*10­-3	0,50	1,270*10­-3	0,32
b12345	-1,179*10­-3	0,50	6,650*10-­5	0,32
b11	-5,524	0,79	-1,392*10-­1	0,50
b22	6,855	0,79	1,223	0,50
b33	-8,781*10-­2	0,79	-6,723*10-­3	0,50
b44	-8,818*10-­1	0,79	2,638*10­-1	0,50
b55	2,755	0,79	-9,656*10­-4	0,50

 

После исключения малозначимых коэффициентов и операции раскодирования, уравнения регрессии электромагнитного момента и тока статора примут вид:

$\begin{array}{l}\widehat{M}=\mathrm{86,421}-\mathrm{114,994}\cdot x_1-\mathrm{66,901}\cdot x_2+\mathrm{1,819}\cdot {10}^{-1}\cdot x_4-\\ -\mathrm{2,399}\cdot {10}^{-1}\cdot x_5+\mathrm{61,358}\cdot x_1\cdot x_2+\mathrm{2,560}\cdot {10}^{-1}\cdot x_1\cdot x_4+\\ +\mathrm{1,006}\cdot x_1\cdot x_5-\mathrm{3,212}\cdot {10}^{-1}\cdot x_2\cdot x_5+\mathrm{3,005}\cdot {10}^{-3}\cdot x_4\cdot x_5-\\ -\mathrm{2,147}\cdot {10}^{-1}\cdot x_1\cdot x_2\cdot x_5-\mathrm{94,320}\cdot {x_1}^2+\mathrm{56,734}\cdot {x_2}^2-\\ -\mathrm{8,994}\cdot {10}^{-3}\cdot {x_4}^2+\mathrm{8,264}\cdot {10}^{-4}\cdot {x_5}^2;\end{array}$ (13)

$\begin{array}{l}{\stackrel{⌢}{I}}_1=\mathrm{53,334}-\mathrm{32,021}\cdot x_1-\mathrm{50,626}\cdot x_2-\mathrm{9,523}\cdot {10}^{-2}\cdot x_4+\mathrm{4,776}\cdot {10}^{-1}\cdot x_5+\\ +\mathrm{23,182}\cdot x_1\cdot x_2-\mathrm{5,085}\cdot {10}^{-2}\cdot x_1\cdot x_5-\mathrm{7,923}\cdot {10}^{-2}\cdot x_2\cdot x_5+\mathrm{10,122}\cdot {x_2}^2;\end{array}$ (14)

Проведем проверку на адекватность полученных моделей. Вычисляем остаточную дисперсию:

${S_r}^2=\frac{{\displaystyle {\sum }_{j=1}^N{\left(y_j-{\stackrel{⌢}{y}}_j\right)}^2}}{f_r}$,   (15)

где $f_r=N-l$, $l$ – количество коэффициентов в уравнении.

Определим «значение критерия Фишера» [12]:

$F={S_r}^2/{S_y}^2$.    (16)

В соответствии с [33] «если $F<F_{табл.}$, то уравнение адекватно».

Результаты расчетов при $p=95\%$, занесены в таблицу (5).

 

Таблица 5 – Критерий Фишера модели ПЭД

	M	I1
fr	22	28
Sr2	1,32	0,17
F	0,63	0,21
Fтабл	1,52	1,46

 

Анализ критерия Фишера табл.5 позволяет утверждать, что уравнения (13) и (14) удовлетворяют нашим требованиям адекватности и являются математическими моделями электромагнитного момента и тока статора ПЭД в режиме расклинивания.

Для электромагнитного момента, когда ПЭД находится в режиме расклинивания, средняя абсолютная ошибка (MAPE) составила – , максимальная – . Для потребляемого тока статора, когда ПЭД находится в режиме расклинивания, MAPE – , максимальная ошибка – Полученные оценки вполне удовлетворительны для построения системы управления рассматриваемым режимом.

Заключение и выводы

1. Предложена методика исследования работы асинхронных погружных электродвигателей при неноминальных режимах работы, включая вариации величины питающего напряжения.
2. Построены математические модели ПЭД в режиме расклинивания, в виде зависимостей момента и тока статора от параметров Т-образной схемы замещения. Показана удовлетворительная точность этих моделей в области применимости: средняя абсолютная ошибка (MAPE) составила – $\mathrm{0,18}\%$, максимальная – $\mathrm{1,48}\%$. Для потребляемого тока статора, когда ПЭД находится в режиме расклинивания, MAPE – $\mathrm{0,15}\%$, максимальная ошибка – $\mathrm{0,5}\%.$
3. Предложенные модели ПЭД можно использовать в структуре систем управления УЭЦН.

About the authors

Vladimir Z. Kovalev

Yugra State University

Author for correspondence.
Email: vz_kovalev@mail.ru

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department "Electrical Power Engineering and Electrical Engineering", Institute of Oil and Gas

Russian Federation, Khanty-Mansiysk

Egor S. Balyklov

Yugra State University

Email: balyklov2842@mail.ru

Postgraduate student of the Institute of Oil and Gas

Russian Federation, Khanty-Mansiysk

Emil I. Husainov

Yugra State University

Email: husainov-e@mail.ru

Postgraduate student of the Institute of Oil and Gas

Russian Federation, Khanty-Mansiysk

References

Supplementary files