Application of matlab for digital images topological characteristics calculation and analysis

Full Text

Введение

Автоматический анализ и обработка графических баз данных является одним из важнейших направлений в области обработки информации. Повышение интереса к проблемам компьютерной цифровых изображений определяется расширением возможностей, как самих компьютерных систем, так и разработкой новых технологий обработки, анализа и идентификации различных видов изображений.

Одной из фундаментальных инструментальных задач обработки цифровых изображений является поиск инвариантных характеристик цифрового изображения [1]. Эффективно используемыми в данном направлении являются методы, основанные на выделении контуров изображения. Контурный анализ в большей степени, чем пространственные методы, дает возможность получить модели, инвариантные к топологическим преобразованиям изображения, а также добиться высокого быстродействия в получении первичной информации [2, 3].

В основе этой работы лежит описание результатов, полученных в ходе вычисления в системе Matlab таких топологических характеристик, как длина и кривизна, плотности длин и кривизн контурных линий изображений, нерегулярности контурной линии первого и второго порядков.

Топологические характеристики цифрового изображения

С математической точки зрения основной трудностью при работе с цифровыми изображениями является их дискретность, поэтому вычисление таких характеристик как длина или кривизна на цифровом изображении требует дополнительных усилий связанных с интерполяцией функций и линий. Использование интегрально-геометрических соотношений, представленных в данной работе, позволяет обойти эти трудности вычислений.

Представим одноканальное цифровое изображение в виде функции , определяющей полутоновую яркость изображения. Рассмотрим верхние и нижние Лебеговы множества:

${l^{\pm }}_c$[u] ={(x,y): u (x,y)≥c}     ${l^{-}}_c$[u] ={(x,y): u (x,y)≤}, c ∈ [0.255],            (1)

Обозначим через  и  следующие интегралы:

${F_1}^{\pm }(c,u)={\iint }_{l^{\pm }{c}^{\left[u\right]}}|\nabla u|dxdy, {F_2}^{\pm }(c,u)={\iint }_{l^{\pm }{c}^{\left[u\right]}}|\nabla u|k(x,y)dxdy$                (2)   

где  − $\nabla u$ градиент функции цифрового изображения, а к(x,y)− кривизна топографических линий изображения, вычисляемая по формуле:

 $\kappa \left(x,y\right)=\frac{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2-2\frac{\partial u}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2}{{\left({\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2\right)}^{3/2}}$                                 (3)

В нашем случае, для изображения u (x,y), в некоторой области на плоскости с учетом выражения верхних (нижних) Лебеговых множеств ${l^{\pm }}_c\left[u\right]$ для длины границы $L^{\pm }\left(c\right)$ и кривизны границы ${\kappa }^{\pm }\left(c\right)$ множества ${l^{\pm }}_c\left[u\right]$ будут справедливы следующие интегрально-геометрические соотношения:

$L^{\pm }\left(c\right)=\frac{d{F_1}^{\pm }(c,u)}{dc}, {\kappa }^{\pm }\left(c\right)=\frac{d{F_2}^{\pm }(c,u)}{dc}.$                        (4)

Замечание. В приведённых выше формулах функция принимает целые значения, поэтому для производных и градиента используются разностные формулы. Данные равенства используются в численном алгоритме для вычисления $L^{\pm }\left(c\right)$ и ${\kappa }^{\pm }\left(c\right)$.

Подынтегральные величины

${\lambda }_1(x,y)=\left|\nabla u\right|, {\lambda }_2(x,y)=\left|\nabla u\right|k\left(x,y\right),$               (5)

будем называть плотностями длин и кривизн контурных линий изображения.

В общем случае, когда функция $u(x,y)$ нерегулярная или сеточная, полные вариации ${F_1}^{}\left(c,u\right),{F_2}^{}\left(c,u\right)$ как функций одной переменной $c\in \left[\mathrm{0,255}\right]$ в смысле теории функций вещественной переменной назовем величиной нерегулярности первого, второго порядка контурной сетки линий:

${{\delta }^1}_{}\left(c\right)=L^{+}\left(c\right)+L^{-}\left(c\right), {\delta }^2\left(c\right)={\kappa }^{+}\left(c\right)+{\kappa }^{-}\left(c\right)$,            (6)

Представленные выше характеристики являются топологическими характеристиками цифрового изображения. Они содержат полную информацию о форме и контурах цифровых изображений.

Программный комплекс анализа изображений в среде Matlab

В целях вычисления таких топологических характеристик цифрового изображения как длина и кривизна контурных линий изображения, а также удельные плотности длин и кривизн, нерегулярности контурной линии первого и второго порядков, в среде Matlab был разработан программный комплекс.

Рассмотрим этапы анализа и обработки изображений в нем подробнее.

На практике цифровое изображение представляет собой дискретную неотрицательную функцию, заданную в узлах сетки. Так как при передаче изображения по каналам связи оно подвергается различным искажениям, перед вычислением характеристик, на этапе предварительной обработки, проведем очистку цифрового изображения от шума с помощью метода медианного сглаживания. Данный алгоритм широко используется в обработке сигналов, статистике. Фильтрация функции яркости позволит снять влияние случайных выбросов и поможет выявить закономерные признаки изучаемой функции. После предварительной обработки приступаем к вычислению топологических характеристик.

Для проведения испытаний была подготовлена база изображений (более 100 цифровых изображений), включающая в себя данные дистанционного зондирования земли и медицинские изображения (рисунок 1). В целях проведения попарных сравнений изображения сгруппированы по типу и месту съемки. Внутри групп изображения, отличаются друг от друга горизонтальным и вертикальным сдвигом центра, поворотом, масштабом.

 

Рисунок 1 – Примеры изображений: a – медицинские изображения, b – данные дистанционного зондирования земли

 

Интерфейс программного модуля представлен на рисунке 2. При запуске модуля пользователю предоставляется возможность выбора изображений для обработки и анализа и группы вычисляемых топографических характеристик.

 

Рисунок 2 –Интерфейс программного модуля обработки изображений

 

В качестве иллюстрации (см. рис. 3), в данной работе было выбрано два изображения одной местности, отличающиеся между собой углом разворота и сдвигом по горизонтали.

С помощью специальной функции производится первичный анализ выбранного изображения (рисунок 3). Получаем данные о размерах изображений, количестве цветовых каналов. Для чистоты эксперимента характеристики вычислялись для изображений одинакового размера по первому цветовому каналу.

 

Рисунок 3 – Окно предварительного просмотра и анализа изображений

Для выбранного изображения программный модуль позволяет вычислить следующие характеристики:

 − удельную плотность длин контурных линий изображения.

 − удельную плотность кривизн контурных линий изображения.

 − длину контурных линий верхней границы множества

 − кривизну контурных линий верхней границы множества.

 − длину контурных линий нижней границы множества.

 − кривизну контурных линий нижней границы множества.

 − нерегулярность контурной линии первого порядка.

 − нерегулярность контурной линии второго порядка.

 

Программный модуль позволяет отметить необходимые характеристики и провести их расчет (рисунок 2). Дополнительно, в модуле «Визуализация характеристик», возможно отображение гистограмм распределения значений вычисленной характеристики или графика значений характеристики (рисунок 4). Визуализация возможна только для вычисленных характеристик (они помечаются знаком «+» возле наименования).

 

Рисунок 4 – Выбор способа визуализации полученных результатов

 

В качестве примера, на рисунке 5 представлены результаты построения графиков длины контурных линий и гистограмм кривизны контурных линий, вычисленных по нижним границам для двух рассматриваемых изображений.

 

Рисунок 5 – Визуализация характеристик.

 

Программный модуль позволяет оценить корреляцию между вычисленными характеристиками (рисунок 6). В нашем случае получившиеся результаты явно отображают инвариантность длины и кривизны контурных линий изображения относительно преобразований изображения.

 

Рисунок 6 – Попарная корреляция между вычисленными характеристиками изображений

 

Проведенные эксперименты показали, что корреляция между значениями длин контурных линий верхней и нижней границ множества

About the authors

Olga V. Samarina

Ugra State University

Author for correspondence.
Email: samarina_ov@mail.ru

Candidate  of Physics and Mathematics Sciences, Associate Professor of the Institute of Digital Economy

Russian Federation, st. Chekhov, 16, Khanty-Mansiysk

Valeriy A. Samarin

Ugra State University

Email: V_Samarin@ugrasu.ru

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Institute of Digital Economy

Russian Federation, st. Chekhov, 16, Khanty-Mansiysk, 628012

Viktor V. Slavsky

Ugra State University

Email: info@eco-vector.com

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Institute of Digital Economy

Russian Federation, st. Chekhov, 16, Khanty-Mansiysk, 628012

Maria V. Kurkina

Ugra State University

Email: M_Kurkina@ugrasu.ru

Candidate  of Physics and Mathematics Sciences, Associate Professor of the Institute of Digital Economy

Russian Federation, st. Chekhov, 16, Khanty-Mansiysk

References

Supplementary files