On the Numerical Solution of the Basic Equation of Wave Mechanics with the Gerasimov – Caputo Fractional Derivative

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы в связи с успешными попытками применить существующий математический аппарат дробного дифференцирования для описания процессов миграции примесей в сильно неоднородных средах возродился интерес исследователей к этой области математики. В нашем исследовании особый интерес представляет модификация фундаментального уравнения квантовой механики, используемого для изучения динамики и эволюции волновых пакетов с течением времени. Классическое основное уравнение квантовой механики (уравнение Шредингера) является одной из наиболее универсальных моделей, описывающих многие физические явления и имеющих важные приложения в гидродинамике и нелинейной оптике [1]. Несколько лет назад классическое уравнение было обобщено до дробного уравнения в частных производных, которое учитывает дробно-пространственную производную Рисса вместо обычного лапласиана [2, 3]. Такая модификация используется для описания квантовых систем с аномальной диффузией или процессов с нелокальными характеристиками, например «полеты Леви» (это вид случайных блужданий, отличных от броуновских, используемых в классическом уравнении квантовой механики). Данные системы нечетко описываются классическим уравнением, которое предполагает гауссову, то есть нормальную, диффузию.

Классическое фундаментальное уравнение квантовой механики, описывающее движение микроскопических частиц, выглядит следующим образом:

$iħ\hslash \frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{ħh^2}{2m}\Delta u+Vu$,

где u – волновая функция, i – мнимая единица, ħ – постоянная Планка, V – потенциальная функция, m – масса частицы, Δ представляет собой оператор Лапласа. Рассмотрим уравнение

$i\frac{{\partial }^{\alpha }u\left(x,t\right)}{\partial t^{\alpha }}=-\frac{{\partial }^{2}u\left(x,t\right)}{\partial x^2} +f\left(x,t\right), x\in \left[a, b\right], t\in \left[\mathrm{0,} T\right]$. (1)

Здесь a, b и T – действительные неотрицательные числа. Дробная производная $\frac{{\partial }^{\alpha }u\left(x,t\right)}{\partial t^{\alpha }}$ для α ∈ (0,1) в смысле Герасимова – Капуто имеет вид

$\frac{{\partial }^{\alpha }u\left(x,t\right)}{\partial t^{\alpha }}=\frac{1}{Г\left(1-\alpha \right)}{\int }_0^t\frac{\dot{u}\left(x,s\right)}{{\left(t-s\right)}^{\alpha }}ds$. (2)

Рассмотрим начально-краевую задачу

$u\left(x, 0\right)=\phi \left(x\right), x\in \Omega =\left[\mathrm{0,} L\right]$, (3)

$u\left(\mathrm{0,} t\right)=u\left(L, t\right)=\psi \left(x\right), t\in \left[\mathrm{0,} T\right]$. (4)

Для уравнения (1), где x ∈ Ω = (0,L), t ∈ (0,T] с дробной производной (2), T, L ∈ R₊, f (x, t), φ (x), ψ (x) заданы.

Формула L1-2-3 и компактный метод конечных разностей для уравнения Шредингера с дробной производной по времени Капуто представлены в работе [4], что вызвало исключительный интерес авторов данного исследования. Результаты работы [5] использованы для апробации численного метода исследуемого уравнения (1) с производной вида (2).

Основная идея данной работы состоит в численном анализе решения начально-краевой задачи (3)-(4) для основного уравнения квантовой механики (1) с дробной производной по времени Герасимова – Капуто (2). Результат проделанной работы представляет интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

Произведем выбор и проанализируем численный метод расчета дробной производной Герасимова – Капуто, применим его для решения дробно-временного основного уравнения квантовой механики, исследуем поведение решения начально-краевой задачи. Таким образом, основной целью данной работы является численное моделирование волновой функции уравнения (1).

Введем равномерную сетку на области, пусть h = (b – a) / N и τ = t / M будут шагами по пространству и времени, соответственно, где N и M – целые положительные числа. Тогда x_r = rh, t_k = kτ при r = 0, 1, ..., N и k = 0, 1, ..., M.

Рассмотрим [6] аппроксимацию дробной производной Герасимова – Капуто (2):

$\frac{{\partial }^{\alpha }u\left(x, t\right)}{\partial t^{\alpha }}={\sum }_{l=0}^{k-1}\frac{u\left(x, t_{l+1}\right)-u\left(x, t_l\right)}{{\tau }^{\alpha }Г\left(2-\alpha \right)}\left[{\left(k-l\right)}^{1-\alpha }-{\left(k-l-1\right)}^{1-\alpha }\right]$.

Составим разностный аналог уравнения (1) с производной Герасимова – Капуто. Для этого введем обозначение $u\left(x_r, t_k\right)=u_r^k$ и, учитывая, что

,$\Delta u=\frac{u_{r-1}^k-2u_r^k+u_{r+1}^k}{h^2}$

получим численную схему

$i{\sum }_{l=0}^{k-1}\frac{u_r^{l+1}-u_r^l}{{\tau }^{\alpha }Г\left(2-\alpha \right)}\left[{\left(k-l\right)}^{1-\alpha }-{\left(k-l-1\right)}^{1-\alpha }\right]=\frac{u_{r-1}^k-2u_r^k+u_{r+1}^k}{h^2}+f\left(x_r, t_k\right)$.

Для решения задачи будем использовать метод матричной прогонки. Матричная прогонка относится к прямым методам решения разностных уравнений. Она применяется к уравнениям, которые можно записать в виде системы векторных уравнений. Основное преимущество данного метода заключается в его высокой вычислительной эффективности и устойчивости при решении систем большого размера. Метод позволяет существенно сократить вычислительные затраты за счет поэтапного исключения переменных, что особенно важно при моделировании процессов с большим числом пространственно-временных узлов. Кроме того, матричная прогонка обеспечивает сохранение структуры матриц и векторов, что способствует более точному учету граничных условий и снижению накопления погрешности при численном интегрировании.

Рассмотрим результаты численного эксперимента для N = 100, M = 100, α = 0,5, L = 2, T = 1, точного решения u (x, t) = (1 + i) t²sin (πx), при

$f\left(x, t\right)=\frac{2t^{2-\alpha }}{Г\left(3-\alpha \right)}\left(i-1\right)\sin \left(\pi x\right)+\left(1+i\right)t^2{\pi }^2\sin \left(\pi x\right)$.

Иллюстрация численного эксперимента представлена на рисунках 1 и 2 для соответствующих действительной и мнимой частей решения. Погрешность и порядок сходимости метода, в зависимости от пространственного шага h, представлены в таблице, где $order={\log }_2\frac{E\left(2h\right)}{E\left(h\right)}$, $E\left(h\right)=\underset{0\le k\le M, 0\le r\le N}{\max }\left|u\left(x_r, t_k\right)-u_r^k\right|$ – максимальная погрешность.

 

Рисунок 1. Действительная часть решения и погрешность

 

Рисунок 2. Мнимая часть решения и погрешность

 

Таблица. Погрешность и сходимость метода

h	α = 0,3		α = 0,5		α = 0,7		α = 0,9
	order	E (h)	order	E (h)	order	E (h)	order	E (h)
1/100		0.0743		0.0605		0.0719		0.0813
1/200	0.2751	0.0614	1.0071	0.0301	0.3174	0.0577	0.1357	0.0746
1/400	0.2649	0.0511	0.9474	0.0155	0.0665	0.0551	0.0	0.0751
1/800	0.2289	0.0436	0.2317	0.0132	0.0157	0.0545

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

Экспериментально полученные дробные импульсы во временной области открывают возможности для разработки схем обработки сигналов. Используя волновые функции, найденные из решений уравнения Шредингера, можно описать квантовые состояния только нерелятивистских частиц, которые движутся со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме. Результаты этого исследования могут быть использованы в оптике, при изучении динамики волновых потоков, в статической механике и, в более общем плане, в квантовой физике и химии. Кроме того, применение дробных производных в основном уравнении квантовой механики позволяет моделировать процессы с памятью и долгосрочной корреляцией, что существенно расширяет диапазон исследуемых явлений. Это особенно актуально для сложных квантовых систем с нестационарными процессами, где традиционные методы оказываются недостаточно точными. Анализ полученных данных демонстрирует возможность улучшения существующих численных алгоритмов, что открывает перспективы разработки новых подходов к моделированию динамических систем с дробным временем.

About the authors

Georgy A. Neverov

Digitech LLC

Author for correspondence.
Email: ujif07@gmail.com

Analytical Engineer

Russian Federation, Chelyabinsk

Natalia D. Ivanova

Yugra State University

Email: nd_ivanova@ugrasu.ru

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of the Complex Digital Solutions Laboratory of the Engineering School of Digital Technologies

Russian Federation, Khanty-Mansiysk

References

Supplementary files