Investigation of the problem of representation of a linear functional in the form of a scoal product

Full Text

Введение

Рассмотрим задачу представления линейного функционала в форме скалярного произведения в гильбертовом пространстве. Примером такой задачи является краевая задача с условиями Дирихле для эллиптического уравнения в плоской ограниченной области. Основные трудности при решении этой задачи возникают от сложности геометрии области, высоты порядка уравнения и наличия краевых условий Дирихле [1–5]. Метод решения такой задачи должен быть асимптотически оптимальны, являться вполне универсальным и иметь достаточно простую реализацию. Будем решать рассматриваемую задачу методом итерационных расширений, являющимся обобщением метода фиктивных компонент [4–7]. Решение исходной задачи рассматривается как обобщение решений методом итерационных расширений краевых задач с условиями Дирихле для эллиптических уравнений. Предполагается, что после сведения решения задачи для эллиптического уравнения к решению соответствующих задач в прямоугольной области можно будет применять оптимальные маршевые методы [8–10].

Результаты и обсуждение

1. Задача представления линейного функционала в форме скалярного произведения в гильбертовом пространстве

Пусть задана первая ограниченная область и выберем вторую ограниченную область

$\omega \in \left\{1, {\rm I}{\rm I}\right\},$ ${\Omega }_{\omega }\subset {ℝ}^2.$

Области не пересекаются, а объединение их замыканий является замыканием прямоугольной области

${\Omega }_1\cap {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}=\varnothing ,$ ${\overline{\Omega }}_1\cup {\overline{\Omega }}_{{\rm I}{\rm I}}=\overline{\Pi }.$

Предполагаем, что границы этих областей имеют пересечение

$\partial {\Omega }_1\cap \partial {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}\ne \varnothing .$

На первой области рассмотрим задачу представления линейного функционала в форме скалярного произведения в гильбертовом пространстве, на второй области введем фиктивную задачу представления нулевого функционала в форме скалярного произведения в гильбертовом пространстве

${\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }:{({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}=F_{\omega }\left({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\right)\forall {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega },$ (1)

${\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }={\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right),$ $F_{{\rm I}{\rm I}}\left({\stackrel{⌣}{v}}_{{\rm I}{\rm I}}\right)=0.$

Предполагается, что рассматриваемые скалярные произведения задаются с помощью симметричных операторов и удовлетворяют соответствующим свойствам скалярного произведения, являются скалярными произведениями, рассматриваемых гильбертовых пространств и обладают свойствами скалярных произведений, задаваемых посредством скалярных произведений функций суммируемых в квадрате

$0){({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}=({\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }{\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })\forall {\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega },$

$1){({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}={({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{u}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}\forall {\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega },$

$2){({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }+{\stackrel{⌣}{w}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}={({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}+{({\stackrel{⌣}{w}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}\forall {\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{w}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega },$

$3){(c{\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}=c{({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}\forall c\in ℝ,\forall {\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega },$

$4){({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}>\mathrm{0,}{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\ne \mathrm{0,}$ ${({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}=0\iff {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }=0.$

Примерами рассматриваемых пространств являются Соболевские пространства функций. Примерами операторов будут симметричные операторы, возникающие в полигармонических краевых задачах. Примером правой части у задач будет скалярное произведение функций, которые суммируемы в квадрате

$F_{\omega }\left({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\right)=\underset{{\Omega }_{\omega }}{\int }{\stackrel{⌣}{f}}_{\omega }{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }d{\Omega }_{\omega }\forall {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }.$

У каждой из задач существует и единственное решение при этом, у фиктивной задачи это решение нулевое [1].

2. Продолженная задача представления линейного функционала в форме скалярного произведения в гильбертовом пространстве

На прямоугольной области будем рассматривать пространство Гильберта из функций $\stackrel{⌣}{V}=\stackrel{⌣}{V}\left(\Pi \right).$ На этом пространстве зададим скалярное произведение как сумму скалярных произведений

${(\stackrel{⌣}{u},\stackrel{⌣}{v})}_{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}={(\stackrel{⌣}{u},\stackrel{⌣}{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_1}+{(\stackrel{⌣}{u},\stackrel{⌣}{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}{\rm I}}}\forall \stackrel{⌣}{u},\stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}.$

Определим следующие подпространства

${\stackrel{⌣}{V}}_1={\stackrel{⌣}{V}}_1\left(\Pi \right)=\left\{{\stackrel{⌣}{v}}_1\in \stackrel{⌣}{V}:{\left.{\stackrel{⌣}{v}}_1\right|}_{\Pi \bcancel{}{\Omega }_1}=0\right\},$

${\stackrel{⌣}{V}}_3={\stackrel{⌣}{V}}_3\left(\Pi \right)=\left\{{\stackrel{⌣}{v}}_3\in \stackrel{⌣}{V}:{\left.{\stackrel{⌣}{v}}_3\right|}_{\Pi \bcancel{}{\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}}=0\right\},$ ${\stackrel{⌣}{V}}_0={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_3,$

${\stackrel{⌣}{V}}_2={\stackrel{⌣}{V}}_2\left(\Pi \right)=\left\{{\stackrel{⌣}{v}}_2\in \stackrel{⌣}{V}:{({\stackrel{⌣}{v}}_2,{\stackrel{⌣}{v}}_0)}_{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}=0\forall {\stackrel{⌣}{v}}_0\in {\stackrel{⌣}{V}}_0\right\}.$

Отметим, что во введенном скалярном произведении

$\stackrel{⌣}{V}={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_2\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_3={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_{{\rm I}{\rm I}},$ ${\stackrel{⌣}{V}}_{{\rm I}}={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_2,$ ${\stackrel{⌣}{V}}_{{\rm I}{\rm I}}={\stackrel{⌣}{V}}_2\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_3.$

Обычно полагать, что для функций выполняются предположения о продолжении функций в следующей форме

$\exists {\stackrel{⌣}{\beta }}_1\in (0;1],{\stackrel{⌣}{\beta }}_2\in [{\stackrel{⌣}{\beta }}_1;1]:{\stackrel{⌣}{\beta }}_1{({\stackrel{⌣}{v}}_2,{\stackrel{⌣}{v}}_2)}_{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}\le {({\stackrel{⌣}{v}}_2,{\stackrel{⌣}{v}}_2)}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}{\rm I}}}\le {\stackrel{⌣}{\beta }}_2{({\stackrel{⌣}{v}}_2,{\stackrel{⌣}{v}}_2)}_{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}\forall {\stackrel{⌣}{v}}_2\in {\stackrel{⌣}{V}}_2.$

Заведем оператор проектирования

$I_1:\stackrel{⌣}{V}\mapsto {\stackrel{⌣}{V}}_1,$ ${\stackrel{⌣}{V}}_1=im{I}_1,$ $I_1=I_1^2.$

Будем совместно рассматривать решаемую задачу и фиктивную задачу как продолженную задачу представления линейного функционала в форме скалярного произведения

$\stackrel{⌣}{u}\in \stackrel{⌣}{V}:{(\stackrel{⌣}{u},I_1\stackrel{⌣}{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_1}+{(\stackrel{⌣}{u},\stackrel{⌣}{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}{\rm I}}}=F_1\left(I_1\stackrel{⌣}{v}\right)\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V},$ (2)

Предложение 1. Имеют место равенства

${({\stackrel{⌣}{u}}_0,{\stackrel{⌣}{v}}_2)}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}={({\stackrel{⌣}{v}}_2,{\stackrel{⌣}{u}}_0)}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{\omega }}=0\forall {\stackrel{⌣}{u}}_0\in {\stackrel{⌣}{V}}_0,\forall {\stackrel{⌣}{v}}_2\in {\stackrel{⌣}{V}}_2,\omega \in \left\{\mathrm{1,}{\rm I}{\rm I}\right\}.$

Утверждение 1. Задача (2) имеет единственное решение $\stackrel{⌣}{u}\in {\stackrel{⌣}{V}}_1$, которое на ${\Omega }_1$. будет решением задачи (1) при $\omega =1$, а на ${\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}$. будет нулевым решением задачи (1) при $\omega ={\rm I}{\rm I}$.

Для решений исходной и продолженной задач можно использовать одно обозначение как для функции и продолжения функции 

${\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right)={\stackrel{⌣}{V}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right),\omega \in \left\{\mathrm{1,}{\rm I}{\rm I}\right\}.$

3. Продолженная задача представления линейного функционала в форме скалярного произведения в конечномерном подпространстве

Рассматриваем введенную прямоугольную область и части ее границы в прямоугольных координатах

$\Pi =(0;b_1)\times (0;b_2),b_1,b_2\in (0;+\infty ).$

Полагаем, что введена прямоугольная сетка с узлами, постоянными и положительными шагами в направлении соответствующих осей координат

$(x_i;y_j),h_1,h_2>\mathrm{0,}i,j\in \mathbb{Z}.$

Введем сеточные функции, определенные в узлах сетки

$v_{i,j}=v(x_i;y_j)\in ℝ,i,j\in \mathbb{Z}.$

При восполнениях сеточных функций используем в качестве базисных функций функции в узлах сетки, имеющие локальные носители

${\Phi }^{i,j}(x;y)={\Psi }^{\mathrm{1,}i}\left(x\right){\Psi }^{\mathrm{2,}j}\left(y\right),i,j\in \mathbb{Z}.$

Полагаем, что эти базисные функции вне прямоугольной области будут равны нулю

${\Phi }^{i,j}(x;y)=\mathrm{0,}(x;y)\notin \Pi ,i,j\in \mathbb{Z}.$

Рассматриваем линейные комбинации из базисных функций, которые являются конечномерным подпространством

$\tilde{V}=\left\{\sum _{i=-\infty }^{+\infty }\sum _{j=-\infty }^{+\infty }{v}_{i,j}{\Phi }^{i,j}(x;y)\right\}\subset \stackrel{⌣}{V}.$

Важным примером аппроксимации пространств Соболева является кусочно-полиномиальная аппроксимация в виде конечных элементов при решении эллиптических краевых задач [1].

Приведем продолженную задачу в конечномерном пространстве.

$\tilde{u}\in \tilde{V}:{(\tilde{u},I_1\tilde{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_1}+{(\tilde{u},\tilde{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}{\rm I}}}=F_1\left(I_1\tilde{v}\right)\forall \tilde{v}\in \tilde{V}.$

Введем следующие подпространства

${\tilde{V}}_1={\tilde{V}}_1\left(\Pi \right)=\left\{{\tilde{v}}_1\in \tilde{V}:{\left.{\tilde{v}}_1\right|}_{\Pi \bcancel{}{\Omega }_1}=0\right\},$

${\tilde{V}}_3={\tilde{V}}_3\left(\Pi \right)=\left\{{\tilde{v}}_3\in \tilde{V}:{\left.{\tilde{v}}_3\right|}_{\Pi \bcancel{}{\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}}=0\right\},$ ${\tilde{V}}_0={\tilde{V}}_1\oplus {\tilde{V}}_3,$

${\tilde{V}}_2={\tilde{V}}_2\left(\Pi \right)=\left\{{\tilde{v}}_2\in \tilde{V}:{({\tilde{v}}_2,{\tilde{v}}_0)}_{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}=0\forall {\tilde{v}}_0\in {\tilde{V}}_0\right\},$

Отметим, что

$\tilde{V}={\tilde{V}}_1\oplus {\tilde{V}}_2\oplus {\tilde{V}}_3={\tilde{V}}_1\oplus {\tilde{V}}_{{\rm I}{\rm I}},$ ${\tilde{V}}_{{\rm I}}={\tilde{V}}_1\oplus {\tilde{V}}_2,$ ${\tilde{V}}_{{\rm I}{\rm I}}={\tilde{V}}_2\oplus {\tilde{V}}_3.$

Полагаем, что для функций и на конечномерном подпространстве выполняются предположения о продолжении функций в следующей форме

$\exists {\beta }_1\in (0;1],{\beta }_2\in [{\beta }_1;1]:{\beta }_1{({\tilde{v}}_2,{\tilde{v}}_2)}_{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}\le {({\tilde{v}}_2,{\tilde{v}}_2)}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}{\rm I}}}\le {\beta }_2{({\tilde{v}}_2,{\tilde{v}}_2)}_{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}\forall {\tilde{v}}_2\in {\tilde{V}}_2.$

Будем использовать такой оператор проектирования под действием, которого обнуляются коэффициенты при базисных функциях, если носители этих функций не лежат полностью на первой области

$I_1:\tilde{V}\mapsto {\tilde{V}}_1,$ ${\tilde{V}}_1=im{I}_1,$ $I_1=I_1^2.$

Приведем продолженную задачу в матричном виде, определив матрицу и правую часть системы следующим образом

$〈B\overline{u},\overline{v}〉={(\tilde{u},I_1\tilde{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_1}+{(\tilde{u},\tilde{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}{\rm I}}}\forall \tilde{u},\tilde{v}\in \tilde{V},$ $〈\overline{f},\overline{v}〉=F_1\left(I_1\tilde{v}\right)\forall \tilde{v}\in \tilde{V},$

$〈\overline{f},\overline{v}〉=(\overline{f},\overline{v})h_1{h}_2=\overline{f}\overline{v}{h}_1{h}_2,$ $\overline{v}=(v_1,v_2\mathrm{,...,}{v}_N{)}^{\text{'}}\in {ℝ}^N,N\in \mathbb{N}.$

Так аппроксимируя продолженную задачу с помощью конечномерного подпространства, получим систему уравнений

$\overline{u}\in {ℝ}^N:B\overline{u}=\overline{f},\overline{f}\in {ℝ}^N.$ (4)

Занумеруем первыми базисные функции с носителями в первой области. Вторыми занумеруем базисные функции с носителями, пересекающими границы первой области и второй области сразу. Третьими занумеруем базисные функции с носителями во второй области. При этой нумерации векторы имеют такой вид.

$\overline{v}=({{\overline{v}}_1}^{\text{'}},{{\overline{v}}_2}^{\text{'}},{{\overline{v}}_3}^{\text{'}}{)}^{\text{'}},$ $\overline{u}=({{\overline{u}}_1}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}}{\overline{0}}^{\text{'}}{)}^{\text{'}},$ $\overline{f}=({{\overline{f}}_1}^{\text{'}},{\overline{0}}^{\text{'}}{\overline{0}}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}.$

Отметим, что решается продолженная задача в следующем матричном виде

$B\overline{u}=\overline{f},$ $\left[\begin{array}{ccc}{{\rm A}}_{11}& {{\rm A}}_{12}& 0\\ 0& {{\rm A}}_{02}& {{\rm A}}_{23}\\ 0& {{\rm A}}_{32}& {{\rm A}}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\overline{f}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right].$

Так решается исходная задача в матричном виде и фиктивная задача в матричном виде.

${{\rm A}}_{11}{\overline{u}}_1={\overline{f}}_1,$ $\left[\begin{array}{cc}{{\rm A}}_{02}& {{\rm A}}_{23}\\ {{\rm A}}_{32}& {{\rm A}}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right],$ $\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_2\\ {\overline{u}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right].$

Введем подпространства векторов

${\overline{V}}_1=\left\{\overline{v}=({{\overline{v}}_1}^{\text{'}},{{\overline{v}}_2}^{\text{'}},{{\overline{v}}_3}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_2=\overline{0},{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}.$

${\overline{V}}_3=\left\{\overline{v}=({{\overline{v}}_1}^{\text{'}},{{\overline{v}}_2}^{\text{'}},{{\overline{v}}_3}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_1=\overline{0},{\overline{v}}_2=\overline{0}\right\},$

${\overline{V}}_2=\left\{\overline{v}=({{\overline{v}}_1}^{\text{'}},{{\overline{v}}_2}^{\text{'}},{{\overline{v}}_3}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{{\rm A}}_{11}{\overline{v}}_1+{{\rm A}}_{12}{\overline{v}}_2=\overline{0},{{\rm A}}_{32}{\overline{v}}_2+{{\rm A}}_{33}{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\},$

${ℝ}^N={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_2\oplus {\overline{V}}_3={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_{{\rm I}{\rm I}},$ ${\overline{V}}_{{\rm I}}={\overline{V}}_1\oplus {\overline{V}}_2,$ ${\overline{V}}_{{\rm I}{\rm I}}={\overline{V}}_2\oplus {\overline{V}}_3.$

Определим матрицы

$〈{{\rm A}}_{{\rm I}}\overline{u},\overline{v}〉={(\tilde{u},\tilde{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}}},〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}\overline{u},\overline{v}〉={(\tilde{u},\tilde{v})}_{{\stackrel{⌣}{{\rm A}}}_{{\rm I}{\rm I}}}\forall \tilde{u},\tilde{v}\in \tilde{V},$ ${\rm A}={{\rm A}}_{{\rm I}}+{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}.$

Для конечномерных подпространств можно записать прежние предположения, касающиеся продолжения функций в матричной форме

$\exists {\beta }_1\in (0;+\infty ),{\beta }_2\in [{\beta }_1;+\infty ):{\beta }_1^{}〈{\rm A}{\overline{v}}_2,{\overline{v}}_2〉\le 〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2,{\overline{v}}_2〉\le {\beta }_2^{}〈{\rm A}{\overline{v}}_2,{\overline{v}}_2〉\forall {\overline{v}}_2\in {\overline{V}}_2.$

4. Метод итерационных расширений

Введем матрицу

$C={{\rm A}}_{{\rm I}}+\gamma {{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}},\gamma \in (0;+\infty ).$

Считаем, что выполняются предположения, записываемые в матричном виде

$\exists {\gamma }_1\in (0;+\infty ),{\gamma }_2\in [{\gamma }_1;+\infty ):{\gamma }_1^2〈C{\overline{v}}_2,C{\overline{v}}_2〉\le 〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2,{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2〉\le {\gamma }_2^2〈C{\overline{v}}_2,C{\overline{v}}_2〉\forall {\overline{v}}_2\in {\overline{V}}_2,$

$\exists \alpha \in (0;+\infty ):〈{{\rm A}}_{{\rm I}}{\overline{v}}_2,{{\rm A}}_{{\rm I}}{\overline{v}}_2〉\le {\alpha }^2〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2,{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2〉\forall {\overline{v}}_2\in {\overline{V}}_2.$

Рассмотрим для решения задачи (4) метод итерационных расширений как обобщение известного метода фиктивных компонент, используя введение дополнительного параметра. Метод фиктивных компонент при единичном значении этого параметра получается из метода итерационных расширений, если не учитывать выбор итерационных параметров

${\overline{u}}^k\in {ℝ}^N:C({\overline{u}}^k-{\overline{u}}^{k-1})=-{\tau }_{k-1}(B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}),k\in \mathbb{N},$

$\forall {\overline{u}}^0\in {\overline{V}}_1,$ $\gamma >\alpha ,$ ${\tau }_0=\mathrm{1,}$ ${\tau }_{k-1}=〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}〉/〈{\overline{\eta }}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}〉,k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\},$ (5)

где при вычислениях итерационных параметров надо находить невязки, поправки, эквивалентные невязки

${\overline{r}}^{k-1}=B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f},{\overline{w}}^{k-1}=C_{}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\eta }^{k-1}=B{\overline{w}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

Введем норму

${||\overline{v}||}_{C^2}=\sqrt{〈C^2\overline{v},\overline{v}〉}\forall \overline{v}\in {ℝ}^N.$

Лемма 1. Для метода итерационных расширений (5) имеет место оценка

${||{\overline{u}}^1-\overline{u}||}_{C^2}\le 2{||{\overline{u}}^0-\overline{u}||}_{C^2}.$

Доказательство. Обозначим ошибки для итерационного процесса (5)

${\overline{\psi }}^k={\overline{u}}^k-\overline{u},k\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}.$

При начальном применении итерационного процесса выполняются следующие равенства

$〈C({\overline{\psi }}^1-{\overline{\psi }}^0),C({\overline{\psi }}^1-{\overline{\psi }}^0)〉=〈-{{\rm A}}_{11}{\overline{\psi }}_1^0,-{{\rm A}}_{11}{\overline{\psi }}_1^0〉,$

$〈C{\overline{\psi }}^1,C{\overline{\psi }}^1〉-2〈C{\overline{\psi }}^1,{\rm A}{\overline{\psi }}^0〉+〈C{\overline{\psi }}^0,C{\overline{\psi }}^0〉=〈{{\rm A}}_{11}{\overline{\psi }}_1^0,{{\rm A}}_{11}{\overline{\psi }}_1^0〉.$

Можно заметить, что выполняется неравенство

$〈C{\overline{\psi }}^0,C{\overline{\psi }}^0〉\ge 〈{{\rm A}}_{11}{\overline{\psi }}_1^0,{{\rm A}}_{11}{\overline{\psi }}_1^0〉.$

Используя прежнее неравенство, получим следующие неравенства

$〈C\overline{\psi }{,}^{1}C{\overline{\psi }}^1〉-2〈C{\overline{\psi }}^1,C{\overline{\psi }}^0〉\le \mathrm{0,}$

$〈C{\overline{\psi }}^1,C{\overline{\psi }}^1〉{}^2\le 4{〈C{\overline{\psi }}^1,C{\overline{\psi }}^0〉}^2\le 4〈C{\overline{\psi }}^1,C{\overline{\psi }}^1〉〈C{\overline{\psi }}^0,C{\overline{\psi }}^0〉.$

При сокращении получим такие неравенства

$〈C{\overline{\psi }}^1,C{\overline{\psi }}^1〉\le 4〈C{\overline{\psi }}^0,C{\overline{\psi }}^0〉,$ ${||{\overline{\psi }}^1||}_{C^2}\le 2{||{\overline{\psi }}^0||}_{C^2},$ ${||{\overline{u}}^1-\overline{u}||}_{C^2}\le 2{||{\overline{u}}^0-\overline{u}||}_{C^2}.$

Теорема 1. Для метода итерационных расширений из (5) имеют место такие оценки для сходимости приближенных решений к точному решению задачи из (4)

${||{\overline{u}}^k-\overline{u}||}_{C^2}\le \epsilon {||{\overline{u}}^0-\overline{u}||}_{C^2},\epsilon =2({\gamma }_2/{\gamma }_1)({\alpha /\gamma )}^{k-1},k\in \mathbb{N},$

где относительные ошибки оцениваются сверху в более сильной норме, чем энергетическая норма бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Доказательство. В итерационном процессе получаем соотношения для ошибок, невязок

${\overline{\psi }}^k={\overline{\psi }}^{k-1}-{\tau }_k{C}^{-1}{\rm A}{}_{{\rm I}{\rm I}}\overline{\psi }^{k-1},{\overline{r}}^k={\overline{r}}^{k-1}-{\tau }_k{\rm A}{}_{{\rm I}{\rm I}}C^{-1}{\overline{r}}^{k-1},k\in \mathbb{N}\bcancel{}1.$

Будем минимизировать невязки

$0\le 〈{\overline{r}}^k,{\overline{r}}^k〉={\tau }_k^2〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1}〉-2{\tau }_k^{}〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉+〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉.$

Определяем итерационные параметры при условии минимизации невязок

${\tau }_{k-1}^{}=\frac{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉}{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1}〉}=\frac{〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}〉}{〈{\overline{\eta }}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}〉}.$

Получим равенства

${\tau }_{k-1}^{}=\frac{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉}{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1}〉}=\frac{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1},C{\overline{w}}^{k-1}〉}{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1}〉}.$

Введем обозначения

${{\rm A}}_{{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1}=\overline{a},$ ${{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1}=\overline{b}.$

Замечаем положительность итерационных параметров

${\tau }_k^{}=\frac{〈\overline{b},\overline{a}+\gamma \overline{b}〉}{〈\overline{b},\overline{b}〉}=\gamma -\frac{〈\overline{a},\overline{b}〉}{〈\overline{b},\overline{b}〉}\ge \gamma -\frac{{〈\overline{a},\overline{a}〉}^{1/2}{〈\overline{b},\overline{b}〉}^{1/2}}{〈\overline{b},\overline{b}〉}\ge \gamma -\frac{{〈\overline{a},\overline{a}〉}^{1/2}}{{〈\overline{b},\overline{b}〉}^{1/2}}\ge \gamma -\alpha >0.$

Для выбранных итерационных параметров получается, что

$〈{\overline{r}}^k,{\overline{r}}^k〉=〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉-\frac{{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉}^2}{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1}〉}.$

Выписываем отношение скалярных произведений невязок для соседних итераций

$q_k^2=\frac{〈{\overline{r}}^k,{\overline{r}}^k〉}{〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉}=1-\frac{{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉}^2}{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{C}^{-1}{\overline{r}}^{k-1}〉〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉}=$

$=\frac{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1}〉〈C{\overline{w}}^{k-1},C{\overline{w}}^{k-1}〉-{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1},C{\overline{w}}^{k-1}〉}^2}{〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{w}}^{k-1}〉〈C{\overline{w}}^{k-1},C{\overline{w}}^{k-1}〉}=$

$=\frac{〈\overline{b},\overline{b}〉〈\overline{a}+\gamma \overline{b},\overline{a}+\gamma \overline{b}〉-{〈\overline{b},\overline{a}+\gamma \overline{b}〉}^2}{〈\overline{b},\overline{b}〉〈\overline{a}+\gamma \overline{b},\overline{a}+\gamma \overline{b}〉}.$

Вводим обозначения

$q_k^2=\frac{ab-z^2}{b(a+{\gamma }^{2}b+2\gamma z)}\le \underset{\left|z\right|\le \sqrt{ab}}{\max }{q}_k^2\left(z\right)=q_k^2\left(\frac{-a}{\gamma }\right)=\frac{a}{{\gamma }^{2}b}\le \frac{{\alpha }^2}{{\gamma }^2}=q^2,$

учитывая, что

$q_k^2\ge \mathrm{0,}{{\left(q_k^2\left(z\right)\right)}_z}^{\text{'}}=\frac{-2\gamma (z+a/\gamma )(z+\gamma b)}{b{(a+{\gamma }^{2}b+2\gamma z)}^2},$

$-\gamma b<\frac{a+{\gamma }^{2}b}{2\gamma }<-\sqrt{ab}<-\frac{a}{\gamma }<\sqrt{ab}.$

Так устанавливаем неравенства

$〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^k,{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^k〉\le q^2〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^{k-1},{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^{k-1}〉,$

$〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^k,{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^k〉\le q^{2(k-1)}〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^1,{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}^1〉,k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

Учитывая, что

$〈C{\overline{\psi }}_{}^k,C{\overline{\psi }}_{}^k〉\le {\gamma }_1^{-2}〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}_{}^k,{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}_{}^k〉,$

$〈{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}_{}^1,{{\rm A}}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{\psi }}_{}^1〉\le {\gamma }_2^2〈C{\overline{\psi }}_{}^1,C{\overline{\psi }}_{}^1〉\le 4{\gamma }_2^2〈C{\overline{\psi }}_{}^0,C{\overline{\psi }}_{}^0〉,$

получаем неравенство для оценки сходимости у метода итерационных расширений

$〈C{\overline{\psi }}_{}^k,C{\overline{\psi }}_{}^k〉\le 4{\gamma }_1^{-2}{\gamma }_2^2{q}^{2(k-1)}〈C{\overline{\psi }}_{}^0,C{\overline{\psi }}_{}^0〉.$

5. Алгоритм метода итерационных расширений

Для выбора итерационных параметров используем метод минимальных невязок.

I. Берем начальное приближение, итерационный параметр

$\forall {\overline{u}}^0=\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1^0\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right]\in {\overline{V}}_1,$ ${\tau }_0=1.$

II.Вычисляем невязку

${\overline{r}}^{k-1}=B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f},k\in \mathbb{N}.$

$\left[\begin{array}{c}{\overline{r}}_1^0\\ {\overline{r}}_2^0\\ {\overline{r}}_3^0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{{\rm A}}_{11}{\overline{u}}_1^0-{\overline{f}}_1\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{c}{\overline{r}}_1^{k-1}\\ {\overline{r}}_2^{k-1}\\ {\overline{r}}_3^{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ {{\rm A}}_{02}{\overline{u}}_2^{k-1}+{{\rm A}}_{23}{\overline{u}}_3^{k-1}\\ \overline{0}\end{array}\right],k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

III. Вычисляем квадрат нормы абсолютной ошибки

${{\rm E}}_{k-1}=〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{r}}^{k-1}〉,k\in \mathbb{N}.$

${{\rm E}}_0=〈{\overline{r}}_1^0,{\overline{r}}_1^0〉,$

${{\rm E}}_{k-1}=〈{\overline{r}}_2^{k-1},{\overline{r}}_2^{k-1}〉,k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

IV. Находим поправку

${\overline{w}}^{k-1}:C{\overline{w}}^{k-1}={\overline{r}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

$\left[\begin{array}{c}{\overline{w}}_1^0\\ {\overline{w}}_2^0\\ {\overline{w}}_3^0\end{array}\right]\in {\overline{V}}_{{\rm I}}:\left[\begin{array}{ccc}{{\rm A}}_{11}& {{\rm A}}_{12}& 0\\ {{\rm A}}_{21}& {{\rm A}}_{20}+\gamma {{\rm A}}_{02}& \gamma {{\rm A}}_{23}\\ 0& \gamma {{\rm A}}_{32}& \gamma {{\rm A}}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{w}}_1^0\\ {\overline{w}}_2^0\\ {\overline{w}}_3^0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\overline{r}}_1^0\\ \overline{0}\\ \overline{0}\end{array}\right],\gamma \in (0;+\infty ),$

$\left[\begin{array}{c}{\overline{w}}_1^{k-1}\\ {\overline{w}}_2^{k-1}\\ {\overline{w}}_3^{k-1}\end{array}\right]\in {\overline{V}}_2:\left[\begin{array}{ccc}{{\rm A}}_{11}& {{\rm A}}_{12}& 0\\ {{\rm A}}_{21}& {{\rm A}}_{20}+\gamma {{\rm A}}_{02}& \gamma {{\rm A}}_{23}\\ 0& \gamma {{\rm A}}_{32}& \gamma {{\rm A}}_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\overline{w}}_1^{k-1}\\ {\overline{w}}_2^{k-1}\\ {\overline{w}}_3^{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ {\overline{r}}_2^{k-1}\\ \overline{0}\end{array}\right],\gamma \in (0;+\infty ),k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

V.Вычисляем эквивалентную невязку

${\overline{\eta }}^{k-1}=B{\overline{w}}^{k-1},k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

$\left[\begin{array}{c}{\overline{\eta }}_1^{k-1}\\ {\overline{\eta }}_2^{k-1}\\ {\overline{\eta }}_3^{k-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\overline{0}\\ {{\rm A}}_{02}{\overline{w}}_2^{k-1}+{{\rm A}}_{23}{\overline{w}}_3^{k-1}\\ \overline{0}\end{array}\right],k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

VI. Вычисляем итерационный параметр

${\tau }_{k-1}=〈{\overline{r}}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}〉/〈{\overline{\eta }}^{k-1},{\overline{\eta }}^{k-1}〉,k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

${\tau }_{k-1}=〈{\overline{r}}_2^{k-1},{\overline{\eta }}_2^{k-1}〉/〈{\overline{\eta }}_2^{k-1},{\overline{\eta }}_2^{k-1}〉,k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\}.$

VII. Вычисляем очередное приближение

${\overline{u}}^k={\overline{u}}^{k-1}-{\tau }_{k-1}{\overline{w}}^{k-1},k\in \mathbb{N}.$

$\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1^k\\ {\overline{u}}_2^k\\ {\overline{u}}_3^k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_1^{k-1}\\ {\overline{u}}_2^{k-1}\\ {\overline{u}}_3^{k-1}\end{array}\right]-{\tau }_{k-1}\left[\begin{array}{c}{\overline{w}}_1^{k-1}\\ {\overline{w}}_2^{k-1}\\ {\overline{w}}_3^{k-1}\end{array}\right]\in {\overline{V}}_{{\rm I}},k\in \mathbb{N}.$

VIII. Устанавливаем критерий завершения работы по заданной оценке ошибки

${{\rm E}}_{k-1}\le {{\rm E}}_0{{\rm E}}^2,k\in \mathbb{N}\bcancel{}\left\{1\right\},$ ${\rm E}\in (0;1).$

6. Пример использования метода итерационных расширений

Рассмотрим следующие области

$\Pi =(0;6)\times (0;6),$ ${\Omega }_1=(0;6)\times (1;4),$ ${\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}=(0;6)\times (0;1)\cup (0;6)\times (4;6).$

Пусть у областей следующие границы.

${\Gamma }_1=(0;6)\times \left\{6\right\},$ ${\Gamma }_2=\left\{\mathrm{0,}6\right\}\times (0;6)\cup (0;6)\times \left\{0\right\},$

${\Gamma }_{\mathrm{1,1}}=(0;6)\times \left\{\mathrm{1,}4\right\},$ ${\Gamma }_{\mathrm{1,2}}=\left\{\mathrm{0,}6\right\}\times (1;4),$ ${\Gamma }_{{\rm I}{\rm I}\mathrm{,1}}=(0;6)\times \left\{6\right\},$

${\Gamma }_{{\rm I}{\rm I}\mathrm{,2}}=(0;6)\times \left\{\mathrm{0,}\mathrm{1,}4\right\}\cup \left\{\mathrm{0,}6\right\}\times (0;1)\cup \left\{\mathrm{0,}6\right\}\times (4;6).$

Рассмотрим задачу

$-\Delta {\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }+{\kappa }_{\omega }^{}{\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }={\stackrel{⌣}{f}}_{\omega },$ ${\kappa }_1^{}=\mathrm{0,}$ ${\kappa }_{{\rm I}{\rm I}}^{}\ge \mathrm{0,}$ ${\stackrel{⌣}{f}}_{{\rm I}{\rm I}}=\mathrm{0,}$

${\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }\left|{}_{{\Gamma }_{\omega \mathrm{,1}}}\right.=\mathrm{0,}$ $\frac{\partial {\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }}{\partial n}\left|{}_{{\Gamma }_{\omega \mathrm{,2}}}\right.=0.$

Выберем правую часть, коэффициент в уравнении

${\stackrel{⌣}{f}}_1(x;y)=\mathrm{2,}(x;y)\in (0;6)\times (1;4),$

${\kappa }_{{\rm I}{\rm I}}(x;y)=\mathrm{2,}(x;y)\in (0;6)\times (0;1),$ ${\kappa }_{{\rm I}{\rm I}}(x;y)=\mathrm{0,}(x;y)\in (0;6)\times (4;6).$

Известно решение задачи

${\stackrel{⌣}{u}}_1(x;y)=(y-1)(4-y),(x;y)\in (0;6)\times (1;4).$

При дискретизации задаем шаги сетки

$h_1=h_2=h=6/n,$ $n=\mathrm{78,84,90,96,102.}$

В прямоугольной области задаем сетку с узлами

$(x_i;y_j)=\left((i-1)h;(j-1)h\right),i=\mathrm{1,2,...,}n+\mathrm{1,}j=\mathrm{1,2,...,}n.$

Применяем метод итерационных расширений с параметром при нулевом начальном приближении. Процесс завершает работу всегда на восьмой итерации при заданной оценке ошибки  На восьмой итерации при  имеют место неравенства

$\underset{(x_i;y_j)\in {\Omega }_1}{\max }\left(\left|u_{i,j}^8-u_{i,j}^{}\right|/\left|u_{i,j}^{}\right|\right)\le \mathrm{0,000065,}$

$\underset{(x_i;y_j)\in {\Omega }_1}{\max }\left|u_{i,j}^8-u_{i,j}^{}\right|/\underset{(x_i;y_j)\in {\Omega }_1}{\max }\left|u_{i,j}^{}\right|\le \mathrm{0,0000005.}$

Заключение и выводы

Разработанный асимптотически оптимальный метод итерационных расширений можно использовать при численном решении краевых задач Дирихле для эллиптических уравнений.

About the authors

Andrey L. Ushakov

Author for correspondence.
Email: ushakoval@susu.ru

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, Senior Research Officer at the Department
of Mathematical and Computer Modelling

References

Supplementary files