Некоторые классы коэффициентных обратных задач для параболических систем уравнений с данными переопределения эволюционного типа

Аннотация

Рассматривается обратная задача об определении правой части и коэффициентов в параболической системе уравнений в пространствах Соболева. Условия переопределения есть значения части вектора решений на некоторой системе поверхностей. При определенных условиях на граничные операторы доказана локальная теорема существования.

Полный текст

Введение

Пусть  – ограниченная область в  с границей  класса  и . Параболическое уравнение имеет вид:

 (1)

где , , , , и  – заданные вектор-функции, причем компоненты векторов  начиная с номера  () равны .  – матричный эллиптический оператор порядка с матричными коэффициентами размерности , представимый в виде

Неизвестными в (1) являются решение  и функции  (, ), входящие как в правую часть (1), так и в оператор  как коэффициенты. Уравнение (1) дополняется начальными и граничными условиями

(2)

где , , и .

Обозначим через  вектор длины , координаты которого совпадают с первыми  координатами исходного вектора  длины . Оператор  отождествляем с оператором умножения на матрицу размерности , полученную из единичной  – матрицы путем удаления строк с номерами . Условия переопределения для нахождения функций  имеют вид

 (3)

где  – множество гладких -мерных поверхностей, лежащих в , и ,  – заданные вектор функции.

Большое количество обратных коэффициентных задач с условиями переопределения вида (3) при  для параболических уравнений второго порядка было рассмотрено в работах Белова Ю.Я., Аниконова Ю.Е. и ряда других авторов (см. библиографию в [1]). В случае  и  линейные и нелинейные задачи такого вида рассматривались, например, в [2]. В этом случае неизвестные функции  зависят только от , и поверхности  – точки. Можно отметить работы [3], [4], где были рассмотрены задачи вида (1), (2) в общей постановке.

Проблемы подобного вида возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и многих других. Много работ посвящено различным модельным задачам. Одной из моделей, возникающей при описании процессов тепломассопереноса, является система уравнений Навье-Стокса, дополненная уравнениями для температуры и концентраций переносимых веществ. По данным измерений на сечениях канала или некоторым другим характеристикам определяются те или иные параметры в задаче (коэффициенты уравнений) или плотности источников (правая часть) (см., например, [5], [6], [7], [8]).

В данной работе при выполнении определенных условий получена локальная корректность, т.е. существование, единственность и непрерывная зависимость решений от данных задачи (1) – (3). Полученные результаты, в целом, аналогичны тем, которые были получены в работе [3] и обобщают эти результаты на случай, когда в условиях переопределения задается лишь часть вектора решений.

Определения, обозначения и формулировка основного результата

В работе используются пространства , пространства непрерывно дифференцируемых функций , пространства Соболева , Бесова , определение которых может быть найдено, например, в [9] и [10]. Принадлежность  (или ) для заданной вектор-функции  означает, что каждая компонента принадлежит  (или ). Норма в соответствующем пространстве – сумма норм координат, если не указано другое. Аналогичное соглашение используется и для матриц. Для заданного интервала , положим  и .

Опишем класс областей . Будем считать, что  (определение может быть найдено в [10]). Зафиксируем параметр . Пусть  – шар радиуса  с центром в точке . Запишем условия на область  и поверхности :

(A) a) Случай . Существует область  с границей класса , такая, что ,

 при всех  и существует константа  такая, что

для , .

б) Случай . В этом случае в качестве множеств  берем внутренние точки  области . Положим  и выберем число  такое, что  и  для , .

Условие (A) носит геометрический характер; оно используется во всех работах, посвященных рассматриваемым обратным задачам. Условие (A) выполнено, например, если , где  ограниченная область класса .

В дальнейшем, используются следующие обозначения: , , , , , , , , ,  и .

Далее будем считать, что выполнены следующие условия.

Условия согласования и гладкости данных

                                                  (4)

                                    (5)

                                                                                          (6)

где ,  и  – постоянная из условия (А).

Как следствие условий (4) – (6) и известных теорем вложения имеем

                                                                                                                                                                                                         (7)

                        (8)

Эти условия при выполнении условий согласования гарантируют существование функции с вышеуказанными свойствами (4) – (5). Она определяется не единственным образом и может быть построена при помощи теорем о продолжении краевых условий внутрь области, если данные задачи удовлетворяют соответствующим условиям согласования.

Условия на коэффициенты операторов,  более или менее стандартные. Считаем, что

                                                                                                          (9)

                                                                                    (10)

                                                                                                                      (11)

Будем искать функции  в классе непрерывных функций. В связи с этим потребуем также, чтобы

                                                                                    (12)

при всех ,  и .

Рассмотрим матрицу  размера , строчки которой с номерами от  до  занимают вектор столбцы

Элементы этой матрицы непрерывны и, в частности, вышеприведенные вектора-столбцы в точке  превращаются в столбцы

Потребуем, чтобы существовала постоянная  такая, что

                                                                                                            (13)

Рассмотрим систему уравнений

                                                                             (14)

где  – вектор-столбец, координаты которого с номерами от  до  представляют собой вектор

При выполнении условия (13), по крайнем мере при , система (14) имеет единственное решение .

Приведенные выше условия на данные задачи гарантируют, что .

Рассмотрим операторы

где , и предположим, что оператор  параболичен, т.е. найдется постоянная  такая, что любой корень  многочлена ( – единичная матрица) удовлетворяет неравенству

                                                                                          (15)

Условие Лопатинского представляется в следующем виде: для любой точки ( запишем операторы  и  (), вычисленные в данной точке в локальной системе координат  и предположим, что система

                                                      (16)

, ,  имеет единственное решение в , убывающее на бесконечности для всех ,  и , таких, что .

Зафиксируем  и перейдем в области , , к переменным , , . При такой замене операторы  и  перейдут в некоторые операторы  и . Обозначим через  и  части операторов  и , не содержащие производных по переменным , а через  и  – остатки. Аналогичный смысл имеют обозначения , , , , , . Опишем связь между производными в новых и старых переменных. Имеем:

Таким образом,

Отсюда видно, что при переходе к новым переменным вид операторов  и  не меняется. Рассмотрим оператор . Фиксируем . Сделаем замену переменных , . Пусть  и  элементы матриц  и  соответственно. Обозначим через  матричный оператор с элементами , а через  – матричный оператор с элементами . По определению, . После замены получим операторы  (). Для произвольного вектора  длины  обозначим через  – вектор размера , получаемый из вектора  длины  путем замены нулями его первых  координат. Таким образом,  – оператор умножения на матрицу, полученную из единичной матрицы путем замены нулями первых  строк.

Предположим, что

                                                 (17)

Неравенство (17) означает, что порядок любого дифференциального оператора входящего в матричный дифференциальный оператор  меньше .

(B) для любого  оператор  параболичен в области , и выполнено условие Лопатинского для операторов ,  () в .

Сформулируем, наконец, теорему существования. Она получена при выполнении определенных дополнительных ограничений на граничные операторы. Эти дополнительные условия по существу и при их нарушении возможно отсутствие решений (см. пример, приведенный в конце работы [3]).

Теорема

Пусть условия (A), (B), (4) – (6), (9) – (12), (13), (15) – (17) выполнены. Если  и  на  для всех , , то для некоторого  существует единственное решение ( задачи (1) – (3), отвечающее этим данным, из класса

Работа поддержана грантом РФФИ №15-01006582.