Моделирование прогиба пластины при поперечной нагрузке на упругом основании при наличии жёсткого краевого закрепления

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Впервые численное решение методом фиктивных областей с неулучшаемой асимптотикой по вычислительным затратам было разработано в работе [1] при решении задачи Неймана для эллиптического уравнения второго порядка. Естественным является стремление свести решение задачи и с условием Дирихле для экранированного уравнения Софи Жермен к численному решению краевой задачи для экранированного уравнения Пуассона в прямоугольной области. Методы решения эллиптических краевых задач различных порядков в областях со сложной геометрией при обязательном наличии краевого условия Дирихле хотя бы на некоторых частях границ областей обычно логарифмически оптимальны, хотя теоретически возможна оптимальная асимптотика [2–5]. И это если применять маршевый метод для численного решения задач, возникающих при аппроксимации краевых задач для экранированного уравнения Пуассона в прямоугольной области [6]. В области со сложной геометрией при решении задачи Дирихле для эллиптического уравнения только второго порядка был предложен метод фиктивного пространства с асимптотически оптимальной асимптотикой [7]. Можно предположить, что предложенный метод в практическом и теоретическом плане был весьма непростым, т. е. его практическая реализация технически достаточно трудна. Вероятно, поэтому этот метод не применялся и не получил развития, например, при решении задачи Дирихле для уравнения Софи Жермен в работах [8–14]. Эта работа посвящена развитию метода итерационных расширений при решении задачи в геометрически сложной области с краевым условием Дирихле для уравнения Софи Жермен экранированного типа с оптимальной асимптотикой по количеству операций [15–16].

РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ

1. Постановка задачи. Рассматривается смешанная краевая задача (обязательно с условием Дирихле) для уравнения Софи Жермен с экранированием. Эта задача описывает прогиб пластины при поперечной нагрузке, расположенной на упругом основании, с краевыми условиями симметрии, шарнирного закрепления и свободного края, но с обязательным защемлением хотя бы на части границы.

$$\begin{gathered} u:{\Delta }^2\stackrel{⌣}{u}+a\stackrel{⌣}{u}=\stackrel{⌣}{f}\overline{)\Omega }, \Omega \subset R^2, \\ \stackrel{⌣}{u}=\frac{\partial \stackrel{⌣}{u}}{\partial \overrightarrow{n}}\left|{}_{{\delta }_0}\right.=\mathrm{0,} \stackrel{⌣}{u}=l_1\stackrel{⌣}{u}\left|{}_{{\delta }_1}=\right.\mathrm{0,} \frac{\partial \stackrel{⌣}{u}}{\partial \overrightarrow{n}}=l_2\stackrel{⌣}{u}\left|{}_{{\delta }_2}=\right.\mathrm{0,} l_1\stackrel{⌣}{u}=l_2\stackrel{⌣}{u}\left|{}_{{\delta }_3}=\right.\mathrm{0,} \end{gathered}$$

если

$$\begin{gathered} \partial \Omega =\overline{s}, s={\delta }_0\cup {\delta }_1\cup {\delta }_2\cup {\delta }_3, {\delta }_i\cap {\delta }_j=\varnothing , i\ne j, i, j=\mathrm{0,} \mathrm{1,} \mathrm{2,} 3, \\ {l}_1\stackrel{⌣}{u}=\Delta \stackrel{⌣}{u}+(1-\sigma )n_1{n}_2{\stackrel{⌣}{u}}_{xy}-n_2^2{\stackrel{⌣}{u}}_{xx}-n_1^2{\stackrel{⌣}{u}}_{yy}, \\ {l}_2\stackrel{⌣}{u}=\frac{\partial \Delta \stackrel{⌣}{u}}{\partial \overrightarrow{n}}+(1-\sigma )\frac{\partial }{\partial \overrightarrow{s}}\left(n_1{n}_2\right({\stackrel{⌣}{u}}_{yy}-{\stackrel{⌣}{u}}_{xx})+(n_1^2-n_2^2\left){\stackrel{⌣}{u}}_{xy}\right), \\ {n}_1=-\cos (\overrightarrow{n},x), n_2=-\cos (\overrightarrow{n},y), \sigma \in (0; 1). \end{gathered}$$

В теоретической физике правая часть в уравнении $\stackrel{⌣}{f}=\stackrel{⌣}{P}/\stackrel{⌣}{D}$, а коэффициент $\stackrel{⌣}{a}=\stackrel{⌣}{K}/\stackrel{⌣}{D}$ если давление $\stackrel{⌣}{P}$, жёсткость $\stackrel{⌣}{D}=\stackrel{⌣}{E}{\stackrel{⌣}{h}}^3/\left(12\right(1-{\sigma }^2\left)\right)$, жесткость основания $\stackrel{⌣}{K}\in \left[0; +\infty \right)$, толщина пластины $\stackrel{⌣}{h}$, модуль Юнга $\stackrel{⌣}{E}$, коэффициент Пуассона σ ограниченная область Ω граница ∂Ω, внешняя нормаль $\overrightarrow{n}$.

Приведенная выше задача записывается в виде задачи определения линейного функционала скалярным произведением

$\stackrel{⌣}{u}\in \stackrel{⌣}{H}:[\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v}]=F\left(\stackrel{⌣}{v}\right)\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{H}, F\in {\stackrel{⌣}{H}}^{\text{'}}$, (1)

на пространстве функций Соболева

$\stackrel{⌣}{H}=\stackrel{⌣}{H}\left(\Omega \right)=\left\{\stackrel{⌣}{v}\in W_2^2\left(\Omega \right):{\left.\stackrel{⌣}{v}\right|}_{{\delta }_0\cup {\delta }_1}=\mathrm{0,} \frac{\partial \stackrel{⌣}{v}}{\partial \overrightarrow{n}}\left|{}_{{\delta }_0\cup {\delta }_2}\right.=0\right\}$,

считается, что скалярное произведение определяется билинейной формой

$[\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v}]=\Lambda (\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})=\underset{\Omega }{\int }(\sigma \Delta \stackrel{⌣}{u}\Delta \stackrel{⌣}{v}+(1-\sigma \left)\right({\stackrel{⌣}{u}}_{xx}{\stackrel{⌣}{v}}_{xx}+2{\stackrel{⌣}{u}}_{xy}{\stackrel{⌣}{v}}_{xy}+{\stackrel{⌣}{u}}_{yy}{\stackrel{⌣}{v}}_{yy})+a\stackrel{⌣}{u}\stackrel{⌣}{v})d\Omega$,

если задана правая часть уравнения как функции $\stackrel{⌣}{f}$, то полагаем, что линейный функционал будет таковым

$F\left(\stackrel{⌣}{v}\right)=(\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})=\underset{\Omega }{\int }\stackrel{⌣}{f}\stackrel{⌣}{v}d\Omega$.

Предполагается, что билинейная форма порождает нормировку расширенного пространства, эквивалентную нормировке в рассматриваемом пространстве Соболева

$\exists c_1,c_2>0:c_1{||\stackrel{⌣}{v}||}_{W_2^2\left(\Omega \right)}^2\le \Lambda (\stackrel{⌣}{v}, \stackrel{⌣}{v})\le c_2{||\stackrel{⌣}{v}||}_{W_2^2\left(\Omega \right)}^2\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{H}$.

Это обеспечивает существование и единственность решения (1), см. [17].

2. Рассматриваем при навешиваемом индексе ω = 1 решаемую краевую задачу для уравнения Софи Жермен с экранированием вариационного вида, а при навешиваемом индексе ω = II вводим фиктивную задачу для уравнения Софи Жермен с экранированием вариационного вида

${\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }:{\Lambda }_{\omega }\left({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega },{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\right)=F_{\omega }\left({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\right)\forall {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }, F_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }^{\text{'}}, \omega \in \left\{\mathrm{1,} {\rm I}{\rm I}\right\}, {\Omega }_{\omega }\subset {ℝ}^2$, (2)

если правые части у приведенных выше задач заданы функцией ${\stackrel{⌣}{f}}_1\in L_2\left({\Omega }_1\right)$, то

$F_{\omega }\left({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\right)=\underset{{\Omega }_{\omega }}{\int }{\stackrel{⌣}{f}}_{\omega }{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }d{\Omega }_{\omega }\forall {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }, {{\stackrel{⌣}{f}}_{{\rm I}{\rm I}}}_1=0$,

а пространства решений есть функции из пространств Соболева

${\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }={\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right)=\left\{{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in W_2^2\left({\Omega }_{\omega }\right):{\left.{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\right|}_{{\delta }_{\omega \mathrm{,0}}\cup {\delta }_{\omega \mathrm{,1}}}=\mathrm{0,} \frac{\partial {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }}{\partial {\overrightarrow{n}}_{\omega }}\left|{}_{{\delta }_{\omega ,0}\cup {\delta }_{\omega ,2}}\right.=0\right\}$,

если эти пространства рассматриваются на ограниченных областях Ω_ω, которые имеют следующие границы

$\partial {\Omega }_{\omega }={\overline{s}}_{\omega }, s_{\omega }={\delta }_{\omega \mathrm{,0}}\cup {\delta }_{\omega \mathrm{,1}}\cup {\delta }_{\omega \mathrm{,2}}\cup {\delta }_{\omega \mathrm{,3}}$

${\delta }_{\omega ,i}\cap {\delta }_{\omega ,j}=\varnothing$, если$i\ne j, i, j=\mathrm{0,} \mathrm{1,} \mathrm{2,} 3$ ,

где внешние нормали ${\overrightarrow{n}}_{\omega }$ к границам ∂Ω_ω, а скалярные произведения определяются билинейной формой

${\Lambda }_{\omega }({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }, {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })=\underset{{\Omega }_{\omega }}{\int }({\sigma }_{\omega }\Delta {\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }\Delta {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }+(1-{\sigma }_{\omega }\left)\right({\stackrel{⌣}{u}}_{\omega xx}{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega xx}+2{\stackrel{⌣}{u}}_{\omega xy}{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega xy}+{\stackrel{⌣}{u}}_{\omega yy}{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega yy})+a_{\omega }{\stackrel{⌣}{u}}_{\omega }{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })d{\Omega }_{\omega }$,

заданные выбираемые коэффициенты a_ω ∈ [0; +∞) коэффициенты Пуассона σ_ω ∈ (0; 1). Считаем, что ω = 1, a₁, a_II ≥ 0, Г_1,0 ≠ ∅.

Предполагается, что билинейная форма порождает нормировку расширенного пространства, эквивалентную нормировке в рассматриваемом пространстве Соболева

$\exists c_1, c_2>0:c_1{||{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }||}_{W_2^2\left({\Omega }_{\omega }\right)}^2\le {\Lambda }_{\omega }({\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }, {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega })\le c_2{||{\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }||}_{W_2^2\left({\Omega }_{\omega }\right)}^2\forall {\stackrel{⌣}{v}}_{\omega }\in {\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }$.

Это обеспечивает существование и единственность решения (2), см. [17].

Сформулируем продолженную задачу

$\stackrel{⌣}{u}\in \stackrel{⌣}{V}:{\Lambda }_1(\stackrel{⌣}{u}, I_1\stackrel{⌣}{v})+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})=F_1\left(I_1\stackrel{⌣}{v}\right)\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}$

с решениями в расширенном пространстве, в пространстве Соболева

$\stackrel{⌣}{V}=\stackrel{⌣}{V}\left(\Pi \right)=\left\{\stackrel{⌣}{v}\in W_2^2\left(\Pi \right):{\left.\stackrel{⌣}{v}\right|}_{{\Gamma }_0\cup {\Gamma }_1}=\mathrm{0,} {\left.\frac{\partial \stackrel{⌣}{v}}{\partial \overrightarrow{n}}\right|}_{{\Gamma }_0\cup {\Gamma }_2}=0\right\}$.

Здесь данная область Ω₁, выбираемая область Ω_II таковы ${\overline{\Omega }}_1\cup {\overline{\Omega }}_{{\rm I}{\rm I}}=\overline{\Pi }, {\Omega }_1\cap {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}=\varnothing$, граница П есть замыкание объединения открытых и непересекающихся частей

$\partial \Pi =\overline{s}, s={\Gamma }_0\cup {\Gamma }_1\cup {\Gamma }_2\cup {\Gamma }_3, {\Gamma }_i\cap {\Gamma }_j=\varnothing , i\ne j, i, j=\mathrm{0,} \mathrm{1,} \mathrm{2,} 3$.

Предполагается, что пересечение границ первой области и второй области есть замыкание непустого пересечения таких частей границ первой и второй областей

$\partial {\Omega }_1\cap \partial {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}=\overline{S}, S={\Gamma }_{\mathrm{1,0}}\cap {\Gamma }_{{\rm I}{\rm I}\mathrm{,3}}\ne \varnothing$,

а к ∂П внешняя нормаль $\overrightarrow{n}$.

На самом деле, пространство решений продолженной задачи будет подпространством расширенного пространства решений

${\stackrel{⌣}{V}}_1={\stackrel{⌣}{V}}_1\left(\Pi \right)=\left\{{\stackrel{⌣}{v}}_1\in \stackrel{⌣}{V}:{\left.{\stackrel{⌣}{v}}_1\right|}_{\Pi \backslash {\Omega }_1}=0\right\}$.

В продолженной задаче используются всевозможные произвольные пробные операторы проектирования расширенного пространства на продолженное подпространство

$I_1:\stackrel{⌣}{V}\mapsto {\stackrel{⌣}{V}}_1, {\stackrel{⌣}{V}}_1=im{I}_1, I_1=I_1^2$.

Подпространства расширенного пространства

$$\begin{gathered} {\stackrel{⌣}{V}}_3={\stackrel{⌣}{V}}_3\left(\Pi \right)=\left\{{\stackrel{⌣}{v}}_3\in \stackrel{⌣}{V}:{\left.{\stackrel{⌣}{v}}_3\right|}_{\Pi \backslash {\Omega }_{{\rm I}{\rm I}}}=0\right\}, {\stackrel{⌣}{V}}_0={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_3, \\ {\stackrel{⌣}{V}}_2={\stackrel{⌣}{V}}_2\left(\Pi \right)=\left\{{\stackrel{⌣}{v}}_2\in \stackrel{⌣}{V}:\Lambda ({\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{v}}_0)=0\forall {\stackrel{⌣}{v}}_0\in {\stackrel{⌣}{V}}_0\right\}, \\ \stackrel{⌣}{V}={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_2\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_3={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_{{\rm I}{\rm I}}, {\stackrel{⌣}{V}}_{{\rm I}}={\stackrel{⌣}{V}}_1\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_2, {\stackrel{⌣}{V}}_{{\rm I}{\rm I}}={\stackrel{⌣}{V}}_2\oplus {\stackrel{⌣}{V}}_3. \end{gathered}$$

Оператор проектирования теоретически может быть и оператором ортогонального проектирования, когда

$I_1\left(v\right)=I_1(v_1+v_2+v_3)=v_1$.

Прямые суммы рассматривается в скалярном произведении, определяемом билинейной формой

$\Lambda (\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})={\Lambda }_1(\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})\forall \stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}$.

Предполагается, что билинейная форма порождает нормировку расширенного пространства, эквивалентную нормировке в рассматриваемом пространстве Соболева

$\exists c_1,c_2>0:c_1{||\stackrel{⌣}{v}||}_{W_2^2\left(\Pi \right)}^2\le \Lambda (\stackrel{⌣}{v}, \stackrel{⌣}{v})\le c_2{||\stackrel{⌣}{v}||}_{W_2^2\left(\Pi \right)}^2\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}$.

Используется предположение о продолжении функции

$\exists {\stackrel{⌣}{\beta }}_1\in (0; 1],{\stackrel{⌣}{\beta }}_2\in [{\stackrel{⌣}{\beta }}_1; 1]:{\stackrel{⌣}{\beta }}_1\Lambda ({\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{v}}_2)\le {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}({\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{v}}_2)\le {\stackrel{⌣}{\beta }}_2\Lambda ({\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{v}}_2)\forall {\stackrel{⌣}{v}}_2\in {\stackrel{⌣}{V}}_2$.

Тогда решение продолженной задачи существует и единственно. Оно является решением исходной задачи в первой области и нулевым на остальной части прямоугольной области. Решение исходной задачи и решение, продолженное нулем, решение продолженной задачи можно обозначать одинаково: как функцию, так и продолжение этой функции.

${\stackrel{⌣}{H}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right)={\stackrel{⌣}{V}}_{\omega }\left({\Omega }_{\omega }\right), \omega \in \left\{1, {\rm I}{\rm I}\right\}$.

При исследовании продолженной задачи можно применить модифицированный метод фиктивных компонент. Это такой итерационный процесс:

$$\begin{gathered} {\stackrel{⌣}{u}}^k\in \stackrel{⌣}{V}:\Lambda ({\stackrel{⌣}{u}}^k-{\stackrel{⌣}{u}}^{k-1}, \stackrel{⌣}{v})=-{\tau }_{k-1}\left({\Lambda }_1\right({\stackrel{⌣}{u}}^{k-1}, I_1\stackrel{⌣}{v})+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}({\stackrel{⌣}{u}}^{k-1}, \stackrel{⌣}{v})-F_1(I_1\stackrel{⌣}{v}\left)\right)\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}, \\ {\tau }_0=\mathrm{1,}{\tau }_{k-1}=\tau =2/\left({\stackrel{⌣}{\beta }}_1+{\stackrel{⌣}{\beta }}_2\right),k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\},\forall {\stackrel{⌣}{u}}^0\in {\stackrel{⌣}{V}}_1\subset \stackrel{⌣}{V}. \end{gathered}$$ (3)

Определим норму в пространстве $\stackrel{⌣}{V}$ через скалярное произведение

${||\stackrel{⌣}{v}||}_{\stackrel{⌣}{V}}=\sqrt{\Lambda (\stackrel{⌣}{v}, \stackrel{⌣}{v})}$.

Теорема 1. В итерационном процессе (3) выполняются оценки сходимости для относительных ошибок

${\stackrel{⌣}{u}}^k-{\stackrel{⌣}{u}}_{\stackrel{⌣}{V}}\le \epsilon {\stackrel{⌣}{u}}^0-{\stackrel{⌣}{u}}_{\stackrel{⌣}{V}}, k\in \mathbb{N}$,                                             

где

$\epsilon ={\delta }_1{q}^{k-1}, {\delta }_1=\sqrt{{||I_1||}_{\stackrel{⌣}{V}}^2-1}, 0\le q=({\stackrel{⌣}{\beta }}_2-{\stackrel{⌣}{\beta }}_1)/({\stackrel{⌣}{\beta }}_1+{\stackrel{⌣}{\beta }}_2)<1$.

Данный результат получается аналогично с соответствующими результатами в [11, 14], см. ссылки там.

Далее продолженную задачу рассматриваем на прямоугольной области в конечномерном подпространстве пространства Соболева. При аппроксимации применим метод конечных элементов, используя параболические функции, полагая, что

$$\begin{gathered} \Pi =(0; b_1)\times (0; b_2), {\Gamma }_0=\varnothing , {\Gamma }_1=\left\{b_1\right\}\times (0; b_2)\cup (0; b_1)\times \left\{b_2\right\}, \\ {\Gamma }_2=\left\{0\right\}\times (0; b_2)\cup (0; b_1)\times \left\{0\right\}, {\Gamma }_3=\varnothing , b_1, b_2\in (0; +\infty ). \end{gathered}$$

В прямоугольной области определяем сетку с выбираемыми узлами

$$\begin{gathered} (x_i; y_j)=\left((i-\mathrm{1,5})h_1; (j-\mathrm{1,5})h_2\right), \\ {h}_1=b_1/\left(m-\mathrm{1,5}\right), h_2=b_2/\left(n-\mathrm{1,5}\right), i=\mathrm{1,} \mathrm{2,} \dots , m, j=\mathrm{1,} 2, \dots , n, m-\mathrm{2,} n-2\in \mathbb{N}. \end{gathered}$$

На множестве выбранных узлов рассматриваем различные сеточные функции

$v_{i,j}=v\left(x_i; y_j\right)\in ℝ, i=\mathrm{1,} \mathrm{2,} \dots , m, j=\mathrm{1,} \mathrm{2,} \dots , n, m-\mathrm{2,} n-2\in \mathbb{N}$.

По сеточным функциям проводим их восполнение с использованием кусочно-параболических функций для определения следующих базисных функций

$$\begin{gathered} {\Phi }^{i,j}\left(x; y\right)={\Psi }^{\mathrm{1,}i}\left(x\right){\Psi }^{\mathrm{2,}j}\left(y\right), i=\mathrm{2,} \dots , m-\mathrm{1,} j=\mathrm{2,} \dots , n-1, m-\mathrm{2,} n-2\in \mathrm{\mathbb{N}}, \\ {\Psi }^{\mathrm{1,}i}\left(x\right)=[2/i]\Psi (x/h_1-i+4)+\Psi (x/h_1-i+3)-[(i+1)/m]\Psi (x/h_1-i+1), \\ {\Psi }^{\mathrm{2,}j}\left(y\right)=[2/j]\Psi (y/h_2-j+4)+\Psi (y/h_2-j+3)+[(j+1)/n]\Psi (y/h_2-j+1), \end{gathered}$$

где

$\Psi \left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0,5}{t}^2,\\ -t^2+3t-\mathrm{1,5,}\\ \mathrm{0,5}{t}^2-3t+\mathrm{4,5,}\\ \mathrm{0,}\end{array}\right.\begin{array}{c}t\in [0; 1],\\ t\in [1; 2],\\ t\in [2; 3],\\ t\notin (0; 3).\end{array}$

Дополнительно определяем, что за введенной прямоугольной областью базисные функции зануляются

${\Phi }^{i,j}\left(x; y\right)=\mathrm{0,} \left(x; y\right)\notin \Pi , i=2, \dots , m-\mathrm{1,} j=\mathrm{2,} \dots , n-\mathrm{1,} m-\mathrm{2,} n-2\in \mathbb{N}$.

Линейные комбинации базисных функций порождают конечномерное аппроксимирующее подпространство расширенного пространства

$\tilde{V}=\left\{\tilde{v}=\sum _{i=2}^{m-1}\sum _{j=2}^{n-1}{v}_{i,j}{\Phi }^{i,j}(x; y)\right\}\subset \stackrel{⌣}{V}$.

Продолженную задачу аппроксимируем по методу конечных элементов и получаем ее в виде системы уравнений

$\overline{u}\in {ℝ}^N:\widehat{B}\overline{u}=\overline{f}, \overline{f}\in {ℝ}^N$.

Здесь применялся оператор проектирования во введенном конечномерном подпространстве, который обнулял коэффициенты при базисных функциях, если их носители не содержались в замыкании первой области. Определяются продолженная матрица и продолженная правая часть из соотношений

$$\begin{gathered} <\widehat{B}\overline{u}, \overline{v}>={\Lambda }_1(\tilde{u},I_1\tilde{v})+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\tilde{u},\tilde{v})\forall \tilde{u},\tilde{v}\in \tilde{V}, <\overline{f}, \overline{v}>=F_1\left(I_1\tilde{v}\right)\forall \tilde{v}\in \tilde{V}, \\ \overline{f}, \overline{v}=\left(\overline{f}, \overline{v}\right)h_1{h}_2=\overline{f}\overline{v}{h}_1{h}_2, \overline{v}={(v_1,v_2,\dots ,v_N)}^{\text{'}}\in {ℝ}^N,N=\left(m-2\right)\left(n-2\right). \end{gathered}$$

Нумеруются коэффициенты при базисных функциях: в первом блоке – коэффициенты при базисных функциях с носителями из замыкания первой области, в третьем блоке – коэффициенты при базисных функциях с носителями из замыкания второй области, во втором блоке – все остальные коэффициенты при остальных базисных функциях. При этой нумерации коэффициентов при базисных функциях тремя блоками рассматриваемые векторы из коэффициентов перед базисными функциями принимают следующую блочную форму

$\overline{v}=({{\overline{v}}_1}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_2}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_3}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}, \overline{u}=({{\overline{u}}_1}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}, \overline{f}=({{\overline{f}}_1}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}$.

Продолженная матрица принимает следующую блочную форму

$\widehat{B}=\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\Lambda }}_{11}& {\widehat{\Lambda }}_{12}& 0\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{02}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{33}\end{array}\right]$.

Задаем матрицы, определяемые из скалярных произведений

$<{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}\overline{u}, \overline{v}>={\Lambda }_1(\tilde{u}, \tilde{v}), <{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}\overline{u}, \overline{v}>={\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\tilde{u}, \tilde{v})\forall \tilde{u}, \tilde{v}\in \tilde{V}$.

Эти матрицы имеют блочную форму

${\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\Lambda }}_{11}& {\widehat{\Lambda }}_{12}& 0\\ {\widehat{\Lambda }}_{21}& {\widehat{\Lambda }}_{20}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right], {\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{02}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{33}\end{array}\right]$.

Вводим векторные подпространства

${\overline{V}}_1=\left\{\overline{v}={({{\overline{v}}_1}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_2}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_3}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_2=\overline{0}, {\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}$.

Еще дополнительно определяем векторные подпространства

${\overline{V}}_2=\left\{\overline{v}={({{\overline{v}}_1}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_2}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_3}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\widehat{\Lambda }}_{11}{\overline{v}}_1+{\widehat{\Lambda }}_{12}{\overline{v}}_2=\overline{0}, {\widehat{\Lambda }}_{32}{\overline{v}}_2+{\widehat{\Lambda }}_{33}{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}$.

Определим расширенную матрицу как сумму первой матрицы и второй матрицы, умноженной на параметр, больший нуля

$$\begin{gathered} \widehat{C}={\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}+\gamma {\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}, \\ \left[\begin{array}{ccc}{\widehat{C}}_{11}& {\widehat{C}}_{12}& 0\\ {\widehat{C}}_{21}& {\widehat{C}}_{22}& {\widehat{C}}_{23}\\ 0& {\widehat{C}}_{32}& {\widehat{C}}_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\Lambda }}_{11}& {\widehat{\Lambda }}_{12}& 0\\ {\widehat{\Lambda }}_{21}& {\widehat{\Lambda }}_{20}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{02}& {\widehat{\Lambda }}_{23}\\ 0& {\widehat{\Lambda }}_{32}& {\widehat{\Lambda }}_{33}\end{array}\right], \gamma \in (0; +\infty ). \end{gathered}$$

Зададим положения, достаточные для сходимости приводимого далее итерационного процесса в развиваемом методе итерационных расширений, т. е.  полагаем, что имеют место свойства при продолжении сеточных функций в виде выполнения следующих неравенств

$$\begin{gathered} \exists {\gamma }_1\in (0; +\infty ), {\widehat{\gamma }}_2\in [{\widehat{\gamma }}_1; +\infty ); {\widehat{\gamma }}_1^2⟨\widehat{C}{\overline{v}}_2, \widehat{C}{\overline{v}}_2⟩\le ⟨{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2, {\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2⟩\le {\widehat{\gamma }}_2^2⟨\widehat{C}{\overline{v}}_2, \widehat{C}{\overline{v}}_2⟩\forall {\overline{v}}_2\in {\overline{V}}_2, \\ \exists \widehat{\alpha }\in (0; +\infty ):⟨{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}{\overline{v}}_2, {\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}}{\overline{v}}_2⟩\le {\widehat{\alpha }}^2⟨{\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2, {\widehat{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2⟩\forall {\overline{v}}_2\in {\overline{V}}_2. \end{gathered}$$

Приведем развиваемый метод итерационных расширений, использующий метод минимальных невязок для выбора итерационного параметра

$$\begin{gathered} {\overline{u}}^k\in {ℝ}^N:\widehat{C}\left({\overline{u}}^k-{\overline{u}}^{k-1}\right)=-{\tau }_{k-1}\left(\widehat{B}{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}\right), k\in \mathbb{N}, \\ \forall {\overline{u}}^0\in {\overline{V}}_1, \widehat{\gamma }>\widehat{\alpha }, {\tau }_0=\mathrm{1,} {\tau }_{k-1}={\overline{r}}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1}/{\overline{\eta }}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1},k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}, \end{gathered}$$ (4)

Здесь при вычислении оптимального итерационного параметра поитерационно вычисляются векторы невязок, векторы поправок и так называемые векторы эквивалентных невязок

_­${\overline{r}}^{k-1}=\widehat{B}{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}, {\overline{w}}^{k-1}={\widehat{C}}^{-1}{\overline{r}}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1}=\widehat{B}{\overline{w}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

Задаем нормы, применяя расширенные матрицы

${\overline{v}}_{{\widehat{C}}^2}=\sqrt{{\widehat{C}}^2\overline{v}, \overline{v}}\forall \overline{v}\in {ℝ}^N$.

Теорема 2. В развиваемом методе итерационных расширений (4) при решении возникающей задачи выполняются оценки сходимости для относительных ошибок

${\overline{u}}^k-{\overline{u}}_{{\widehat{C}}^2}\le \epsilon {\overline{u}}^0-{\overline{u}}_{{\widehat{C}}^2}, \epsilon =2\left({\widehat{\gamma }}_2/{\widehat{\gamma }}_1\right){\left(\widehat{\alpha }/\widehat{\gamma }\right)}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

Данный результат получается аналогично с результатами в [15], см. ссылки там.

А теперь продолженную задачу аппроксимируем в соответствии с применяемым выше методом конечных элементов, но по смешанному методу аппроксимации по частям [17], тогда получаем в матричной форме систему линейных алгебраических уравнений, записываемую в соответствующем виде

$\overline{u}\in {ℝ}^N:B\overline{u}=\overline{f}, \overline{f}\in {ℝ}^N$. (5)

Полагаем, что при аппроксимации области Ω₁, Ω_II заменяются областями Ω_h,1, Ω_h,II с границами, проходящими по линиям сетки. Здесь также выбираем конкретный оператор проектирования, который во введенном конечномерном подпространстве зануляет коэффициенты при базисных функциях с носителями, не содержащимися в замыкании первой области. Нумеруем в первом блоке коэффициенты при базисных функциях с носителями, содержащимися в замыкании области Ω_h,1. Нумеруем последними в третьем блоке коэффициенты при базисных функциях с носителями, содержащимися в замыкании области Ω_h,II. Во втором блоке нумеруем остальные коэффициенты при остальных базисных функциях. При этой нумерации коэффициентов при базисных функциях тремя блоками рассматриваемые векторы из коэффициентов перед базисными функциями принимают следующую блочную форму

$\overline{v}=({{\overline{v}}_1}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_2}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_3}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}, \overline{u}=({{\overline{u}}_1}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}, \overline{f}=({{\overline{f}}_1}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}, {\overline{0}}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}$.

Продолженная матрица принимает такую блочную форму

$B=\left[\begin{array}{ccc}{\Lambda }_{11}& {\Lambda }_{12}& 0\\ 0& {\Lambda }_{02}& {\Lambda }_{23}\\ 0& {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{33}\end{array}\right]$.

Задаем матрицы, получаемые теперь по методу аппроксимации по частям Λ₁, Λ_II. Эти матрицы имеют блочную форму

${\Lambda }_{{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}{\Lambda }_{11}& {\Lambda }_{12}& 0\\ {\Lambda }_{21}& {\Lambda }_{20}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right], {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\Lambda }_{02}& {\Lambda }_{23}\\ 0& {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{33}\end{array}\right]$.

Сумму введенных матриц можно представить в виде, например, после перенумерации строк

$\Lambda ={\Lambda }_{{\rm I}}+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}={{\rm A}}^2+a{\rm E}$,

где

$$\begin{gathered} <{\rm A}\overline{u}, \overline{v}>=\sum _{i=2}^{m-1}\sum _{j=2}^{n-1}\left(\right(u_{i+\mathrm{1,}j}-u_{i,j}\left)\right(v_{i+\mathrm{1,}j}-v_{i,j})h_1^{-2}+(u_{i,j+1}-u_{i,j}\left)\right(v_{i,j+1}-v_{i,j}\left)h_2^{-2}\right)h_1{h}_2, \\ {u}_{i,n}=v_{i,n}=0, i=\mathrm{2,} ..., m-1, u_{m,j}=v_{m,j}=0, j=\mathrm{2,} ..., n-1. \end{gathered}$$

Здесь E – единичная матрица размерности N × N. В узлах сетки (x_i; y_i), в которых носители базисных функций содержатся в замыкании области Ω_h,1, a = a₁. А в остальных узлах сетки можем полагать, что a = a_II.

Вводим аналогично векторные подпространства

${\overline{V}}_1=\left\{\overline{v}={({{\overline{v}}_1}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_2}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_3}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\overline{v}}_2=\overline{0}, {\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}$.

Еще дополнительно теперь определяем векторные подпространства так

${\overline{V}}_2=\left\{\overline{v}={({{\overline{v}}_1}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_2}^{\text{'}}, {{\overline{v}}_3}^{\text{'}})}^{\text{'}}\in {ℝ}^N:{\Lambda }_{11}{\overline{v}}_1+{\Lambda }_{12}{\overline{v}}_2=\overline{0}, {\Lambda }_{32}{\overline{v}}_2+{\Lambda }_{33}{\overline{v}}_3=\overline{0}\right\}$.

Зададим расширенную матрицу как сумму первой матрицы и второй матрицы, умноженной на параметр, который больше нуля

$$\begin{gathered} C={\Lambda }_{{\rm I}}+\gamma {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}, \\ \left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& 0\\ C_{21}& C_{22}& C_{23}\\ 0& C_{32}& C_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\Lambda }_{11}& {\Lambda }_{12}& 0\\ {\Lambda }_{21}& {\Lambda }_{20}& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]+\gamma \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& {\Lambda }_{02}& {\Lambda }_{23}\\ 0& {\Lambda }_{32}& {\Lambda }_{33}\end{array}\right], \gamma \in (0; +\infty ). \end{gathered}$$

Задаем положения, достаточные для сходимости предлагаемого далее итерационного процесса в развиваемом методе итерационных расширений, т. е. полагаем, что имеют место свойства при продолжении сеточных функций в виде выполнения следующих неравенств

$$\begin{gathered} \exists {\gamma }_1\in (0; +\infty ), {\gamma }_2\in [{\gamma }_1; +\infty ):{\gamma }_1^2<C{\overline{v}}_2, C{\overline{v}}_2>\le <{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2, {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2>\le {\gamma }_2^2<C{\overline{v}}_2, C{\overline{v}}_2>\forall {\overline{v}}_2\in {\overline{V}}_2, \\ \exists \alpha \in (0; +\infty ):<{\Lambda }_{{\rm I}}{\overline{v}}_2, {\Lambda }_{{\rm I}}{\overline{v}}_2>\le {\alpha }^2<{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2, {\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}{\overline{v}}_2>\forall {\overline{v}}_2\in {\overline{V}}_2. \end{gathered}$$

Приведем развиваемый метод итерационных расширений, используя для выбора итерационного параметра метод минимальных невязок

$$\begin{gathered} {\overline{u}}^k\in {ℝ}^N:C\left({\overline{u}}^k-{\overline{u}}^{k-1}\right)=-{\tau }_{k-1}\left(B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}\right), k\in \mathbb{N}, \\ \forall {\overline{u}}^0\in {\overline{V}}_1, \gamma >\alpha ,{\tau }_0=\mathrm{1,}{\tau }_{k-1}={\overline{r}}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1}/{\overline{\eta }}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1}, k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}, \end{gathered}$$ (6)

где для вычисления оптимального итерационного параметра еще поитерационно вычисляем векторы невязок, векторы поправок и так называемые векторы эквивалентных невязок

${\overline{r}}^{k-1}=B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}, {\overline{w}}^{k-1}=C^{-1}{\overline{r}}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1}=B{\overline{w}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

Задаем норму, применяя расширенную матрицу

${\overline{v}}_{C^2}=\sqrt{C^2\overline{v}, \overline{v}}\forall \overline{v}\in {ℝ}^N$.

Теорема 3. В развиваемом методе итерационных расширений (6) при решении возникающей задачи выполняются оценки сходимости для относительных ошибок

${\overline{u}}^k-{\overline{u}}_{C^2}\le \epsilon {\overline{u}}^0-{\overline{u}}_{C^2}, \epsilon =2\left({\gamma }_2/{\gamma }_1\right){\left(\alpha /\gamma \right)}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

Данный результат получается аналогично результатам в [16].

Выпишем алгоритм, в котором реализуем развиваемый метод итерационных расширений численного решения смешанной краевой задачи при обязательном наличии условия Дирихле для уравнения Софи Жермен с экранированием. Для вариационного выбора итерационного параметра в вычислительном процессе в развиваемом методе итерационных расширений используем метод минимальных невязок.

I. Выбираем вектор начальных приближений, также всегда единичный начальный итерационный параметр

II. Поитерационно находим вектор невязок

$\forall {\overline{u}}^0\in {\overline{V}}_1, {\tau }_0=1$.

III. Поитерационно вычисляем норму для абсолютной ошибки, но только в квадрате

${\overline{r}}^{k-1}=B{\overline{u}}^{k-1}-\overline{f}, k\in \mathbb{N}$.

IV. Поитерационно ищем вектор поправок

$e_{k-1}={\overline{r}}^{k-1}, {\overline{r}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

V. Поитерационно находим вектор эквивалентной невязки

${\overline{w}}^{k-1}:C{\overline{w}}^{k-1}={\overline{r}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

VI. Поитерационно находим оптимальный итерационный параметр

${\overline{\eta }}^{k-1}=B{\overline{w}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}$.

VII. Поитерационно находим вектор приближения

${\tau }_{k-1}={\overline{r}}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1}/{\overline{\eta }}^{k-1}, {\overline{\eta }}^{k-1}, k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}$.

VIII. Поитерационно проверяем выполнение критерия остановки итераций по заданной оценке относительной ошибки

${\overline{u}}^k={\overline{u}}^{k-1}-{\tau }_{k-1}{\overline{w}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

Приведем исследование рассматриваемой математической модели в пространстве Соболева. Рассмотрим продолженную математическую модель в операторном виде в пространстве Соболева

$\stackrel{⌣}{u}\in \stackrel{⌣}{V}:\stackrel{⌣}{B}\stackrel{⌣}{u}=\stackrel{⌣}{f}$,

если оператор и правую часть продолженной математической модели определить из соотношений

$$\begin{gathered} (\stackrel{⌣}{B}\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})={\Lambda }_1(\stackrel{⌣}{u}, I_1\stackrel{⌣}{v})+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})\forall \stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}, (\stackrel{⌣}{f}, \stackrel{⌣}{v})=F_1\left(I_1\stackrel{⌣}{v}\right)\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}, \\ (\stackrel{⌣}{f}, \stackrel{⌣}{v})=\underset{\Pi }{\int }\stackrel{⌣}{f}\stackrel{⌣}{v}d\Pi . \end{gathered}$$

Для пространства Соболева при этих обозначениях предположения о продолжении функций записываются в виде

$\exists {\stackrel{⌣}{\beta }}_1\in (0; 1], {\stackrel{⌣}{\beta }}_2\in [{\stackrel{⌣}{\beta }}_1;1]:{\stackrel{⌣}{\beta }}_1(\stackrel{⌣}{\Lambda }{\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{v}}_2)\le ({\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{v}}_2)\le {\stackrel{⌣}{\beta }}_2(\stackrel{⌣}{\Lambda }{\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{v}}_2)\forall {\stackrel{⌣}{v}}_2\in {\stackrel{⌣}{V}}_2$,

если рассматриваемые операторы определить так

$\stackrel{⌣}{\Lambda }={\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}}+{\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}, ({\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}}\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})={\Lambda }_1(\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v}), ({\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}\stackrel{⌣}{v}, \stackrel{⌣}{v})={\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v})\forall \stackrel{⌣}{u}, \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}$.

Определим расширенный оператор

$\stackrel{⌣}{C}={\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}}+\gamma {\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}, \gamma \in (0; +\infty )$.

Предполагается выполнение положений о продолжении функций в виде

$$\begin{gathered} \exists {\stackrel{⌣}{\gamma }}_1\in (0; +\infty ), {\stackrel{⌣}{\gamma }}_2\in [{\stackrel{⌣}{\gamma }}_1; +\infty ):{\stackrel{⌣}{\gamma }}_1^2(\stackrel{⌣}{C}{\stackrel{⌣}{v}}_2, \stackrel{⌣}{C}{\stackrel{⌣}{v}}_2)\le ({\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\stackrel{⌣}{v}}_2)\le {\stackrel{⌣}{\gamma }}_2^2(\stackrel{⌣}{C}{\stackrel{⌣}{v}}_2, \stackrel{⌣}{C}{\stackrel{⌣}{v}}_2)\forall {\stackrel{⌣}{v}}_2\in {\stackrel{⌣}{V}}_2, \\ \exists \stackrel{⌣}{\alpha }\in (0; +\infty ): ({\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}}{\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}}{\stackrel{⌣}{v}}_2)\le {\stackrel{⌣}{\alpha }}^2({\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\stackrel{⌣}{v}}_2, {\stackrel{⌣}{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\stackrel{⌣}{v}}_2)\forall {\stackrel{⌣}{v}}_2\in {\stackrel{⌣}{V}}_2. \end{gathered}$$

Сформулируем метод итерационных расширений в пространстве Соболева

$$\begin{gathered} {\stackrel{⌣}{u}}^k\in \stackrel{⌣}{V}:\stackrel{⌣}{C}\left({\stackrel{⌣}{u}}^k-{\stackrel{⌣}{u}}^{k-1}\right)=-{\tau }_{k-1}\left(\stackrel{⌣}{B}{\stackrel{⌣}{u}}^{k-1}-\stackrel{⌣}{f}\right), k\in \mathbb{N}, \\ \forall {\stackrel{⌣}{u}}^0\in {\stackrel{⌣}{V}}_1, \gamma >\stackrel{⌣}{\alpha }, {\tau }_0=\mathrm{1,} {\tau }_{k-1}=\left({\stackrel{⌣}{r}}^{k-1},{\stackrel{⌣}{\eta }}^{k-1}\right)/\left({\stackrel{⌣}{\eta }}^{k-1},{\stackrel{⌣}{\eta }}^{k-1}\right), k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}, \end{gathered}$$ (7)

здесь для вычисления итерационного параметра необходимо вычислить невязки, поправки и эквивалентные невязки

${\stackrel{⌣}{r}}^{k-1}=\stackrel{⌣}{B}{\stackrel{⌣}{u}}^{k-1}-\stackrel{⌣}{f}, {\stackrel{⌣}{w}}^{k-1}={\stackrel{⌣}{C}}^{-1}{\stackrel{⌣}{r}}^{k-1}, {\stackrel{⌣}{\eta }}^{k-1}=\stackrel{⌣}{B}{\stackrel{⌣}{w}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.

Зададим норму

${||\stackrel{⌣}{v}||}_{{\stackrel{⌣}{C}}^2}=\sqrt{(\stackrel{⌣}{C}\stackrel{⌣}{v}, \stackrel{⌣}{C}\stackrel{⌣}{v})}\forall \stackrel{⌣}{v}\in \stackrel{⌣}{V}$.

Считаем, что при используемой аппроксимации выполняется

${||\stackrel{⌣}{v}||}_{{\stackrel{⌣}{C}}^2}\approx {||\overline{v}||}_{C^2}{h}_1, h_2\to 0$.

Следствие 1. В методе (7) выполняются оценки

$$\begin{gathered} {\stackrel{⌣}{u}}^k-{\stackrel{⌣}{u}}_{{\tilde{C}}^2}\le \epsilon {\stackrel{⌣}{u}}^0-{\stackrel{⌣}{u}}_{{\tilde{C}}^2}, \epsilon =2\left({\stackrel{⌣}{\gamma }}_2/{\stackrel{⌣}{\gamma }}_1\right){\left(\stackrel{⌣}{\alpha }/\gamma \right)}^{k-1}, k\in \mathbb{N}, \\ \stackrel{⌣}{\alpha }\approx \alpha , {\stackrel{⌣}{\gamma }}_1\approx {\gamma }_1, {\stackrel{⌣}{\gamma }}_2\approx {\gamma }_2, h_1, h_2\to \mathrm{0,} \end{gathered}$$

т. е. относительные ошибки сверху оцениваются геометрической прогрессией с бесконечным убыванием.

Замечание 1. При аппроксимации выполняются асимптотические равенства

$\alpha \approx \stackrel{⌣}{\alpha }=const, {\gamma }_1\approx {\stackrel{⌣}{\gamma }}_1=const, {\gamma }_2\approx {\stackrel{⌣}{\gamma }}_2=const, h_1, h_2\to 0$.

Приведем исследование рассматриваемой математической модели на конечномерном подпространстве из пространства Соболева. Рассмотрим продолженную математическую модель на конечномерном подпространстве из пространства Соболева

$\tilde{u}\in \tilde{V}:\tilde{B}\tilde{u}=\tilde{f}$,

если оператор и правая часть продолженной математической модели на конечномерном подпространстве задаются так

$(\tilde{B}\tilde{u}, \tilde{v})={\Lambda }_1(\tilde{u}, I_1\tilde{v})+{\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\tilde{u}, \tilde{v})\forall \tilde{u}, \tilde{v}\in \tilde{V}, (\tilde{f}, \tilde{v})=F_1\left(I_1\tilde{v}\right)\forall \tilde{v}\in \tilde{V}$.

Предполагается, что для конечномерного подпространства выполняются положения о продолжении функций в виде

$\exists {\tilde{\beta }}_1\in (0; 1], {\tilde{\beta }}_2\in [{\tilde{\beta }}_1; 1]:{\tilde{\beta }}_1(\tilde{\Lambda }{\tilde{v}}_2, {\tilde{v}}_2)\le ({\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\tilde{v}}_2, {\tilde{v}}_2)\le {\tilde{\beta }}_2(\tilde{\Lambda }{\tilde{v}}_2, {\tilde{v}}_2)\forall {\tilde{v}}_2\in {\tilde{V}}_2$,

если рассматриваемые операторы определить так

$\tilde{\Lambda }={\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}}+{\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}, ({\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}}\tilde{u}, \tilde{v})={\Lambda }_1(\tilde{u}, \tilde{v}), ({\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}\tilde{v}, \tilde{v})={\Lambda }_{{\rm I}{\rm I}}(\tilde{u}, \tilde{v})\forall \tilde{u}, \tilde{v}\in \tilde{V}$.

Определим расширенный оператор теперь так

$\tilde{C}={\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}}+\gamma {\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}, \gamma \in (0; +\infty )$.

Предполагаем выполнение положений о продолжении функций теперь в виде

$$\begin{gathered} \exists {\tilde{\gamma }}_1\in (0; +\infty ), {\tilde{\gamma }}_2\in [{\tilde{\gamma }}_1; +\infty ):{\tilde{\gamma }}_1^2(\tilde{C}{\tilde{v}}_2, \tilde{C}{\tilde{v}}_2)\le ({\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\tilde{v}}_2, {\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\tilde{v}}_2)\le {\tilde{\gamma }}_2^2(\tilde{C}{\tilde{v}}_2, \tilde{C}{\tilde{v}}_2)\forall {\tilde{v}}_2\in {\tilde{V}}_2, \\ \exists \tilde{\alpha }\in (0; +\infty ):({\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}}{\tilde{v}}_2, {\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}}{\tilde{v}}_2)\le {\tilde{\alpha }}^2({\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\tilde{v}}_2, {\tilde{\Lambda }}_{{\rm I}{\rm I}}{\tilde{v}}_2)\forall {\tilde{v}}_2\in {\tilde{V}}_2. \end{gathered}$$

Приведем теперь метод итерационных расширений на конечномерном подпространстве из пространства Соболева

$$\begin{gathered} {\tilde{u}}^k\in \tilde{V}:\tilde{C}\left({\tilde{u}}^k-{\tilde{u}}^{k-1}\right)=-{\tau }_{k-1}\left(\tilde{B}{\tilde{u}}^{k-1}-\tilde{f}\right), k\in \mathbb{N}, \\ \forall {\tilde{u}}^0\in {\tilde{V}}_1, \gamma >\tilde{\alpha }, {\tau }_0=\mathrm{1,} {\tau }_{k-1}=\left({\tilde{r}}^{k-1}, {\tilde{\eta }}^{k-1}\right)/\left({\tilde{\eta }}^{k-1}, {\tilde{\eta }}^{k-1}\right), k\in \mathbb{N}\backslash \left\{1\right\}, \end{gathered}$$ (8)

Здесь для вычисления итерационного параметра необходимо вычислять невязки, поправки и эквивалентные невязки

${\tilde{r}}^{k-1}=\tilde{B}{\tilde{u}}^{k-1}-\tilde{f}, {\tilde{w}}^{k-1}={\tilde{C}}^{-1} {\tilde{r}}^{k-1}, {\tilde{\eta }}^{k-1}=\tilde{B}{\tilde{w}}^{k-1}, k\in \mathbb{N}$.