Yugra State University BulletinYugra State University BulletinВестник Югорского государственного университета1816-92282078-9114Yugra State University70604510.18822/byusu202602102-109Mathematical modeling and information technologyМатематическое моделирование и информационные технологииResearch ArticleReconstruction of the spatiotemporal reaction rate function in high-dimensional problemsВосстановление пространственно-временной функции скорости реакции в задачах высокой размерностиTukmachevaJulia A.ТукмачеваЮлия Андреевна
Russian Federation

Postgraduate student, Engineering School of Digital Technologies

аспирант 2 года обучения, Инженерная школа цифровых технологий

y_tukmacheva@ugrasu.ruYugra State UniversityЮгорский государственный университет300620262221021091204202622042026Copyright ©; 2026, Yugra State UniversityCopyright ©; 2026, Югорский государственный университет2026Yugra State UniversityЮгорский государственный университетhttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/706045

Subject of research: inverse problems of reconstructing a spatiotemporal reaction rate function that enters a parabolic equation as a lower-order coefficient from a limited data set.

Purpose of research: to develop and investigate a numerical algorithm for reconstructing the spatiotemporal reaction rate function g(x, y, z, t) in high-dimensional problems from pointwise concentration data.

Research methods: methods of mathematical modeling and numerical solution of inverse problems for parabolic equations, the finite element method for solving the forward problem, the implicit Euler scheme for time discretization, and minimization of the misfit functional by the L-BFGS-B method.

Objects of research: reaction-diffusion type parabolic equations with an unknown spatiotemporal reaction rate function.

Research findings: a numerical algorithm for reconstructing the spatiotemporal reaction rate function in the four-dimensional variable domain g(x, y, z, t) has been developed; a finite-dimensional radial basis function parameterization of the sought coefficient has been constructed; and a computational experiment has been carried out. The total relative reconstruction error of the concentration at the measurement points was 2.6845 %, while the relative reconstruction error of the reaction rate function was 4.4 %. The proposed approach makes it possible to reproduce the main features of the spatiotemporal distribution and may be used for further development of methane transport and uptake models.

Предмет исследования: обратные задачи восстановления пространственно-временной функции скорости реакции, входящей в параболическое уравнение в качестве младшего коэффициента, по ограниченному набору данных.

Цель исследования: построение и исследование численного алгоритма восстановления пространственно-временной функции скорости реакции g(x, y, z, t) в задачах высокой размерности по точечным данным о концентрации.

Методы исследования: методы математического моделирования и численного решения обратных задач для параболических уравнений, метод конечных элементов для решения прямой задачи, неявная схема Эйлера для аппроксимации по времени, минимизация функционала невязки методом L-BFGS-B.

Объекты исследования: параболические уравнения типа реакция-диффузия с неизвестной пространственно-временной функцией скорости реакции.

Основные результаты исследования: разработан численный алгоритм восстановления пространственно-временной функции скорости реакции в четырехмерной области переменных g(x, y, z, t); построена конечномерная радиально-базисная параметризация искомого коэффициента; проведен вычислительный эксперимент – получены суммарная относительная ошибка восстановления концентрации в точках измерений 2,6845 % и относительная ошибка восстановления функции скорости реакции 4,4 %. Предложенный подход позволяет воспроизводить основные особенности пространственно-временного распределения и может быть использован для дальнейшего развития моделей переноса и поглощения метана.

inverse problemabsorption parameterparabolic equationreaction rateheat and mass transferобратная задачапараметр поглощенияпараболическое уравнениескорость реакциитепломассопереносThis work was supported by the Russian Science Foundation and the Government of the Khanty-Mansiysk Autonomous Okrug – Yugra (Grant No. 25-11-20026).Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и Правительства Ханты-Мансийского автономного округа – Югры (грант № 25-11-20026).Алифанов, О. М. Обратные задачи в исследовании сложного теплообмена / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхов, А. В. Ненарокомов. – Москва : Янус-К, 2009. – 299 с.Вабищевич, П. Н. Вычислительная идентификация младшего коэффициента параболического уравнения / П. Н. Вабищевич, В. И. Васильев // Доклады академии наук. Математика. – 2014. – Т. 455, № 3. – С. 258–260.Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения / А. И. Кожанов // Вестник Челябинского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. – 2011. – № 13. – С. 5–19.Прилепко, А. И. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении / А. И. Прилепко, В. В. Соловьев // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т. 23, № 1. – С. 136–143.Пятков, С. Г. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений / С. Г. Пятков, Е. И. Сафонов // Сибирские электронные известия. – 2014. – Т. 11. – С. 777–799.Тукмачева, Ю. А. Определение коэффициента поглощения по точечным данным / Ю. А. Тукмачева, С. Г. Пятков // Вестник Югорского государственного университета. – 2025. – Т. 21, № 3. – С. 54–59.Тукмачева, Ю. А. Определение параметра поглощения в уравнениях конвекции-диффузии / Ю. А. Тукмачева, С. Г. Пятков // Челябинский физико-математический журнал. – 2025. – Т. 10, № 4. – С. 701–714.Тукмачева, Ю. А. Численное решение обратной задачи идентификации скорости потребления метана в почве / Ю. А. Тукмачева, С. Г. Пятков // Вестник Югорского государственного университета. – 2024. – Т. 20, № 4. – С. 74–81.Assessment of methane emission from measured concentrations in the atmospheric surface layer / A. I. Borodulin, B. D. Desyatkov, G. A. Makhov, S. R. Sarmanaev // Russian meteorology and hydrology. – 1997. – № 1. – P. 49–55.Beretta, E. Identifying a space dependent coefficient in a reaction-diffusion equation / E. Beretta // Inverse Problems and Imaging. – 2011. – Vol. 5, № 2. – P. 285–296.Choulli, M. Generic well-posedness of an inverse parabolic problem – the Hölder-space approach / M. Choulli, M. Yamamoto // Inverse Problems. – 1996. – Vol. 12. – P. 195–205.Choulli, M. Inverse problem for a semilinear parabolic equation / M. Choulli // Inverse Problems. – 1994. – Vol. 10. – P. 1123–1132.Glagolev, M. V. Determination of gas exchange on the border between ecosystem and atmosphere: inverse modeling / M. V. Glagolev, A. F. Sabrekov // Mathematical Biology and Bioinformatics. – 2012. – Vol. 7, № 1. – P. 81–101.Hao, D. N. A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equation and related inverse problems / D. N. Hao // Inverse Problems. – 1994. – Vol. 10. – P. 295–315.Hussein, M. S. Simultaneous determination of time-dependent coefficients and heat source / M. S. Hussein, D. Lesnic // International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. – 2016. – Vol. 17, № 5-6. – P. 401–411.Kamynin, V. L. The inverse problem of determining the lower-order coefficient in parabolic equations with integral observation / V. L. Kamynin, // Mathematical Notes. – 2013. – Vol. 94, № 2. – P. 205–213.Kozhanov, A. I. Parabolic Equations with an Unknown Absorption Coefficient / A. I. Kozhanov // Doklady Mathematics. – 2006. – Vol. 74, № 1. – P. 573–576.Mamonov, A. V. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems / A. V. Mamonov, Y.-H. R. Tsai // Inverse Problems. – 2013. – Vol. 29, № 3. – P. 1–26.Marchuk, G. I. Mathematical Models in Environmental Problems / G. I. Marchuk. – Amsterdam : Elsevier Science Publishers, 1986. – 216 p.Ozisik, M. N. Inverse Heat Transfer / M. N. Ozisik, H. R. B. Orlande. – New-York : Taylor & Francis, 2000. – 350 p.Prilepko, A. I. Inverse Source and Coefficient Problems for Elliptic and Parabolic Equations in Holder and Sobolev Spaces / A. I. Prilepko, A. B. Kostin, V. V. Solov'ev // Journal of Mathematical Sciences. – 2019. – Vol. 237, № 3. – P. 576–594.Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. – New-York : Marcel Dekker, Inc., 1999. – 744 p.Pyatkov, S. Coefficient inverse problems of identification of thermophysical parameters from boundary integral data / S. Pyatkov, T. Pronkina // Journal of Mathematical Sciences. – 2024. – Vol. 282, № 2. – P. 241–252.Pyatkov, S. G. Identification of thermophysical parameters in mathematical models of heat and mass transfer / S. G. Pyatkov // Journal of Computational and Engineering Mathematics. – 2022. – Vol. 9, № 2. – P. 52–66.Pyatkov, S. G. Inverse problems of recovering lower-order coefficients from boundary integral data / S. G. Pyatkov, O. A. Soldatov // Axioms. – 2025. – Vol. 14, № 2. – Art. 116.Sabrekov, A. F. Determination of the specic ux of methane from soil using inverse modeling based on conjugate equations / A. F. Sabrekov, M. V. Glagolev, I. E. Terentyeva // Proceedings of the International Conference «Mathematical Biology and Bioinformatics» / ed. V. D. Lakhno. – Pushchino : IMPB RAS, 2018. – Vol. 7. – Art. e94.