Yugra State University BulletinYugra State University BulletinВестник Югорского государственного университета1816-92282078-9114Yugra State University70477710.18822/byusu20260277-84Mathematical modeling and information technologyМатематическое моделирование и информационные технологииResearch ArticleFinite difference simulation of three-dimensional micropolar fluid flow in a cubic cavity with a moving upper wallКонечно-разностное моделирование трехмерного течения микрополярной жидкости в кубической полости с подвижной верхней стенкойProsviryakovEvgenii Y.ПросвиряковЕвгений Юрьевич
Russian Federation

Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Professor at the Department of Information Technology and Automation, Head of Sector, Sect. of Nonlinear Vortex Hydrodynamics

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры «Информационные технологии и системы управления» Института радиоэлектроники и информационных технологий, заведующий сектором нелинейной вихревой гидродинамики

evgen_pros@mail.ruGubarevaKristina V.ГубареваКристина Владимировна
Russian Federation

Candidate of Engineering Science, Associate Professor at the Department of Industrial Thermal Power Engineering

кандидат технических наук, доцент кафедры «Промышленная теплоэнергетика»

r.kristina2017@mail.ruUral Federal UniversityУральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. ЕльцинаInstitute of Engineering Science, Ural Branch of the RASИнститут машиноведения имени Э. С. Горкунова Уральского отделения РАНSamara State Technical UniversityСамарский государственный технический университет3006202622277842103202609042026Copyright ©; 2026, Yugra State UniversityCopyright ©; 2026, Югорский государственный университет2026Yugra State UniversityЮгорский государственный университетhttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/704777

Subject of research: numerical methods for solving micropolar fluid dynamics equations applied to three-dimensional flows in confined cavities.

Purpose of research: development and testing of a finite-difference algorithm for modeling three-dimensional micropolar fluid flow in a cubic lid-driven cavity, ensuring stability and high accuracy.

Research methods: the finite difference method on a uniform grid with an upwind scheme for convective terms is used; the coupled system of Navier-Stokes and microrotation equations is solved using the projection method for pressure; verification is performed by comparison with the analytical solution for a Newtonian fluid and convergence analysis on successively refined grids.

Objects of research: three-dimensional micropolar fluid flow in a cubic lid-driven cavity; the influence of the micropolarity parameter on the flow structure and dissipative characteristics.

Research findings: the developed method demonstrates second-order spatial convergence; the relative error in the central cross-section of the cavity compared to the analytical solution for a Newtonian fluid does not exceed 2.4×10-4. It is established that an increase in the micropolarity parameter leads to a nonlinear deformation of the velocity profile (deviation up to 18 % at N = 0.9) and an increase in integral dissipation by a factor of 2.8. The algorithm is stable within the ranges Re ∈ [1,50], N ∈ [0,0.9], m ∈ [0.1,0.5].

Предмет исследования: численные методы решения уравнений микрополярной гидродинамики применительно к трёхмерным течениям в замкнутых полостях.

Цель исследования: разработка и апробация конечно-разностного алгоритма для моделирования трёхмерного течения микрополярной жидкости в кубической полости с подвижной верхней стенкой, обеспечивающего устойчивость и высокую точность.

Методы исследования: использован метод конечных разностей на равномерной сетке с аппроксимацией конвективных членов схемой против потока; решение связанной системы уравнений Навье – Стокса и микровращения выполнено с применением метода проекций для давления; верификация проведена сравнением с аналитическим решением для ньютоновской жидкости и анализом сходимости на последовательно сгущающихся сетках.

Объекты исследования: трёхмерное течение микрополярной жидкости в кубической полости с подвижной верхней стенкой; влияние параметра микрополярности на структуру течения и диссипативные характеристики.

Основные результаты исследования: разработанный метод демонстрирует второй порядок сходимости по пространству; относительная погрешность в центральном сечении полости при сравнении с аналитическим решением для ньютоновской жидкости не превышает 2.4×10-4. Установлено, что увеличение параметра микрополярности приводит к нелинейной деформации профиля скорости (отклонение до 18 % при N = 0.9) и росту интегральной диссипации в 2.8 раза. Показана устойчивость алгоритма в диапазонах Re ∈ [1,50], N ∈ [0,0.9], m ∈ [0.1,0.5].

micropolar fluidCouette flowfinite difference methodthree-dimensional modelingnumerical convergenceмикрополярная жидкостьтечение Куэттаметод конечных разностейтрехмерное моделированиечисленная сходимостьСамарский, А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. – Издание 4-е, исправленное. – Москва : УРСС, 2004. – 423 с.A numerical study of micropolar flow inside a lid-driven triangular enclosure / N. Ali, M. Nazeer, T. Javed, F. Abbas // Meccanica. – 2018. – Vol. 53, № 13. – P. 3279–3299.Ahmadi, G. Self-Similar Solution of Incompressible Micropolar Boundary Layer Flow Over a Semi-Infinite Plate / G. Ahmadi // International Journal of Engineering Science. – 1976. – Vol. 14, № 7. – P. 639–646.Ariman, T. Microcontinuum Fluid Mechanics – A Review / T. Ariman, M. A. Turk, N. D. Sylvester // International Journal of Engineering Science. – 1973. – Vol. 11, № 8. – P. 905–930.Baranovskii, E. S. Mathematical analysis of steady non-isothermal flows of a micropolar fluid / E. S. Baranovskii, E. Yu. Prosviryakov, S. V. Ershkov // Nonlinear Analysis: Real World Applications. – 2025. – Vol. 84. – Art. 104294.Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics / G. K. Batchelor. – Cambridge : Cambridge University Press, 1967. – 615 p.Bhopalam, S. R. Three-dimensional simulations of fluid flows in oscillating lid-driven cavities using lattice Boltzmann method / S. R. Bhopalam, D. A. Perumal, A. K. Yadav // Fluid Dynamics Research. – 2023. – Vol. 55, № 4. – Art. 045504.Blood Flow Modeling in Coronary Arteries: A Review / V. Carvalho, D. Pinho, R. A. Lima [et al.] // Fluids. – 2021. – Vol. 6, № 2. – P. 53.Borbora, M. H. A review study of numerical simulation of lid-driven cavity flow with nanofluids / M. H. Borbora, B. Vasu, A. J. Chamkha // Journal of Nanofluids. – 2023. – Vol. 12, № 3. – P. 589–604.Burmasheva, N. V. Exact Solutions to the Navier – Stokes equations for unidirectional flows of micropolar fluids in a mass force field / N. V. Burmasheva, E. Yu. Prosviryakov // Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures (DReaM). – 2024. – Vol. 3. – P. 41–63.Burmasheva, N. V. The Inhomogeneous Couette Flow of a Micropolar Fluid / N. V. Burmasheva, E. Yu. Prosviryakov // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. – 2025. – Vol. 21, № 3. – P. 345–358.Chorin, A. J. Numerical solution of the Navier-Stokes equations / A. J. Chorin // Mathematics of Computation. – 1968. – Vol. 22, № 104. – P. 745–762.Cowin, S. C. The Theory of Polar Fluids / S. C. Cowin // Advances in Applied Mechanics. – 1974. – Vol. 14. – P. 279–347.Eringen, A. C. Simple Microfluids / A. C. Eringen // International Journal of Engineering Science. – 1964. – Vol. 2, № 2. – P. 205–217.Eringen, A. C. Theory of micropolar fluids / A. C. Eringen // Journal of Mathematics and Mechanics. – 1966. – Vol. 16. – P. 1–18.Ferziger, J. H. Computational Methods for Fluid Dynamics / J. H. Ferziger, M. Perić. – Berlin : Springer, 2002. – 423 p.Gad-el-Hak, M. The Fluid Mechanics of Microdevices – The Freeman Scholar Lecture / M. Gad-el-Hak // Journal of Fluids Engineering. – 1999. – Vol. 121. – P. 5–33.Ghia, U. High-Re Solutions for Incompressible Flow Using the Navier-Stokes Equations and a Multigrid Method / U. Ghia, K. N. Ghia, C. T. Shin // Journal of Computational Physics. – 1982. – Vol. 48, № 3. – P. 387–411.Gubareva, K. V. MATLAB Code for 3D Steady Micropolar Couette Flow: Numerical Solver with Verification and Parametric Study / K. V. Gubareva, E. Yu. Prosviryakov // Mendeley Data. – URL: https://data.mendeley.com/datasets/p2ffh9md5t/1 (date of access: 15.03.2026).Jena, S. K. Similarity Solutions for Laminar Free Convection Flow of a Thermomicropolar Fluid Past a Non-Isothermal Vertical Flat Plate / S. K. Jena, M. N. Mathur // International Journal of Engineering Science. – 1981. – Vol. 19, № 11. – P. 1431–1439.Landau, L. D. Fluid Mechanics / L. D. Landau, E. M. Lifshitz. – 2nd ed. – Oxford : Pergamon Press, 1987. – 539 p.LeVeque, R. J. Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-State and Time-Dependent Problems / R. J. LeVeque. – Philadelphia : SIAM, 2007. – 341 p.Lukaszewicz, G. Micropolar Fluids: Theory and Applications / G. Lukaszewicz. – Basel : Birkhäuser, 1999. – 320 p.Maeda, M. More on convergence of Chorin's projection method for incompressible Navier–Stokes equations / M. Maeda, K. Soga // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. – 2022. – Vol. 24, № 2. – 1–31.Mathur, P. Transient nonlinear modeling of lemon bore journal bearings with micropolar fluid and eccentricity effects / P. Mathur, S. Soni // Multiscale and Multidisciplinary Modeling, Experiments and Design. – 2025. – Vol. 8. – P. 467.Moise, P. Hysteresis and turbulent vortex breakdown in transitional swirling jets / P. Moise, J. Mathew // Journal of Fluid Mechanics. – 2021. – Vol. 915. – P. A94.Numerical analysis of heat and mass transfer in micropolar nanofluids flow through lid driven cavity: Finite volume approach / S. Batool, G. Rasool, N. Alshammari [et al.] // Case Studies in Thermal Engineering. – 2022. – Vol. 37. – P. 102233.Numerical simulation of lid-driven cavity flow of micropolar fluid / K. Venkatadri, S. Maheswari, C. V. Lakshmi, V. R. Prasad // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. – 2018. – Vol. 402, № 1. – P. 012168.Patankar, S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow / S. V. Patankar. – New York : Hemisphere, 1980. – 197 p.Peddieson, J. J. Boundary layer theory for a micropolar fluid / J. J. Peddieson : Doctor of Philosophy. – Virginia, 1970. – URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?edn=fwcypb (date of access: 15.03.2026).Rees, D. A. S. The Blasius Boundary-Layer Flow of a Micropolar Fluid / D. A. S. Rees, A. P. Bassom // International Journal of Engineering Science. – 1996. – Vol. 34, № 1. – P. 113–124.Shankar, P. N. Fluid Mechanics in the Driven Cavity / P. N. Shankar, M. D. Deshpande // Annual Review of Fluid Mechanics. – 2000. – Vol. 32, № 1. – P. 93–136.Siddiqui, A. Film flow of nano-micropolar fluid with dissipation effect / A. Siddiqui, M. Turkyilmazoglu // Computer Modeling in Engineering & Sciences. – 2024. – Vol. 140, № 3. – P. 2487.Sofiadis, G. Microrotation viscosity effect on turbulent micropolar fluid channel flow / G. Sofiadis, I. Sarris // Physics of Fluids. – 2021. – Vol. 33, № 9. – P. 095126.Stokes, V. K. Couple stresses in fluids / V. K. Stokes // The Physics of Fluids. – 1966. – Vol. 9, № 9. – P. 1709–1715.Stokes, V. K. Theories of Fluids with Microstructure: An Introduction / V. K. Stokes. – Berlin: Springer-Verlag, 1984. – 205 p.Stone, H. A. Engineering Flows in Small Devices: Microfluidics Toward a Lab-on-a-Chip / H. A. Stone, A. D. Stroock, A. Ajdari // Annual Review of Fluid Mechanics. – 2004. – Vol. 36, № 1. – P. 381–411.Tassaddiq, A. Impact of Cattaneo-Christov heat flux model on MHD hybrid nano-micropolar fluid flow and heat transfer with viscous and joule dissipation effects / A. Tassaddiq // Scientific Reports. – 2021. – Vol. 11, № 1. – P. 67.Thermal dissipation of two-step combustible tangent hyperbolic fluid with quadratic Boussinesq approximation and convective cooling / A. D. Ohaegbue, S. O. Salawu, R. A. Oderinu [et al.] // Results in Materials. – 2024. – Vol. 22. – P. 100565.Three-dimensional analysis of precursors to non-viscous dissipation in an experimental turbulent flow / P. Debue, V. Valori, C. Cuvier [et al.] // Journal of Fluid Mechanics. – 2021. – Vol. 914. – P. A9.