Yugra State University BulletinYugra State University BulletinВестник Югорского государственного университета1816-92282078-9114Yugra State University68883710.18822/byusu20250354-59Mathematical modeling and information technologyМатематическое моделирование и информационные технологииUnknownDetermination of the absorption coefficient from discrete dataОпределение коэффициента поглощения по точечным даннымTukmachevaJulia A.ТукмачеваЮлия Андреевна
Russian Federation

Postgraduate student, Engineering School of Digital Technologies

аспирант 2 года обучения направления, «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Инженерной школы цифровых технологий

y_tukmacheva@ugrasu.ruPyatkovSergey G.ПятковСергей Григорьевич
Russian Federation
s_pyatkov@ugrasu.ruYugra State UniversityЮгорский государственный университет3009202521354590708202528082025Copyright ©; 2025, Yugra State UniversityCopyright ©; 2025, Югорский государственный университет2025Yugra State UniversityЮгорский государственный университетhttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/688837

Subject of research: inverse problems concerning the determination of an absorption coefficient in a parabolic equation from discrete (pointwise) data.

Purpose of research: establishing the well-posedness of the problem of determining the lower-order coefficient in a parabolic equation from pointwise overdetermination conditions; proving the existence and uniqueness of a solution in Sobolev spaces.

Research methods: a priori estimates, Schauder’s fixed-point theorem, and the theory of parabolic operators.

Objects of research: parabolic equations with an unknown absorption coefficient represented as a linear combination of known functions with unknown coefficients.

Research findings: a theorem on the existence and uniqueness of solutions in Sobolev spaces is proven, and a priori estimates are derived. The method is constructive and can serve as a foundation for developing a numerical algorithm for the approximate solution of the inverse problem.

Цель исследования: установление корректности задачи определения младшего коэффициента в параболическом уравнении по точечным условиям переопределения, доказательство существования и единственности решения в пространствах Соболева.

Методы исследования: априорные оценки, теорема Шаудера, теория параболических операторов.

Объекты исследования: параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения, представляемым в виде линейной комбинации известных функций с неизвестными коэффициентами.

Основные результаты исследования: доказана теорема существования и единственности решений в пространствах Соболева, получены априорные оценки. Метод носит конструктивный характер и может служить основой для построения численного алгоритма приближённого решения обратной задачи.

inverse problemabsorption parameterparabolic equationheat and mass transferSobolev spacesобратная задачакоэффициент поглощенияпараболическое уравнениетепломассопереноспространство СоболеваThis work was supported by the Russian Science Foundation and the Government of the Khanty-Mansiysk Autonomous Okrug – Yugra (Grant no. 25-11-20026).Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и Правительства Ханты-Мансийского автономного округа – Югры (грант № 25-11-20026).Алифанов, О. М. Обратные задачи сложного теплообмена / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхов, А. В. Ненарокомов. – Москва : Янус-К, 2009. – 299 с.Ozisik, M. N. Inverse Heat Transfer / M. N. Ozisik, H. R. B. Orlande. – New York : Taylor & Francis, 2000. – 350 p.Marchuk, G. I. Mathematical Models in Environmental Problems / G. I. Marchuk. – Amsterdam : Elsevier Science Publishers, 1986. – Vol. 16. – 216 p.Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. – New-York : Marcel Dekker, Inc., 1999. – 744 p.Glagolev, M. V. Determination of gas exchange on the border between ecosystem and atmosphere: inverse modeling / M. V. Glagolev, A. F. Sabrekov // Mathematical Biology and Bioinformatics. – 2012. – Vol. 7, № 1. – P. 81–101.Sabrekov, A. F. Determination of the specific flux of methane from soil using inverse modeling based on conjugate equations / A. F. Sabrekov, M. V. Glagolev, I. E. Terentyeva // Reports of the International Conference «Mathematical Biology and Bioinformatics» / ed. V. D. Lakhno. – Pushchino : IMPB RAS, 2018. – Vol. 7. – P. e94.Assessment of methane emission from measured concentrations in the atmospheric surface layer / A. I. Borodulin, B. D. Desyatkov, G. A. Makhov, S. R. Sarmanaev // Russian meteorology and hydrology. – 1997. – № 1. – P. 49–55.Soil Methanotrophy Model (MeMo v1.0): a process-based model to quantify global uptake of atmospheric methane by soil / F. Murguia-Flores, S. Arndt, A. L. Ganesan [et al.] // Geoscientific Model Development. – 2018. – Vol. 11. – P. 2009–2032.Identification of the methane consumption rate in soils by the inverse problem method / A. F. Sabrekov, M. V. Glagolev, I. E. Terentyeva, S. Yu. Mochenov // Reports of the International Conference «Mathematical Biology and Bioinformatics» / ed. V. D. Lakhno. – Pushchino : IMPB RAS, 2018. – Vol. 7. – P. 951–955.Идентификация скорости потребления метана в почвах методом обратной задачи / А. Ф. Сабреков, М. В. Глаголев, И. Е. Терентьева, С. Ю. Моченов // Материалы VI конференции «Математическое моделирование в экологии». – Пущино, 2019. – С. 179–180.Prather, M. J. Overexplaining or underexplaining methane’s role in climate change / M. J. Prather, C. D. Holmes // Proceedings of the National Academy of Sciences. – 2017. – Vol. 114. – P. 5324–5326.Прилепко, А. И. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении / А. И. Прилепко, В. В. Соловьев // Дифференциальные уравнения. – 1987. – Т. 23, № 1. – С. 136–143.Prilepko, A. I. Inverse Source and Coefficient Problems for Elliptic and Parabolic Equations in Holder and Sobolev Spaces / A. I. Prilepko, A. B. Kostin, V. V. Solov’ev // Journal of Mathematical Sciences. – 2019. – Vol. 237, № 3. – P. 576–594.Choulliy, M. Generic well-posedness of an inverse parabolic problem – the Hölder-space approach / M. Choulliy, M. Yamamoto // Inverse Problems. – 1996. – Vol 12. – P. 195–205.Choulliy, M. Inverse problem for a semilinear parabolic equation / M. Choulliy // Inverse Problems. – 1994. – Vol. 10. – P. 1123–1132.Kozhanov, A. I. Parabolic Equations with an Unknown Absorption Coefficient / A. I. Kozhanov // Doklady Mathematics. – 2006. – Vol. 74, № 1. – P. 573–576.Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения / А. И. Кожанов // Вестник Челябинского государственного университета. Математика. Механика. Информатика. – 2011. – № 13. – С. 5–19.Hao, D. N. A noncharacteristic Cauchy problem for linear parabolic equation and related inverse problems / D. N. Hao // Inverse Problems. – 1994. – Vol. 10. – P. 295–315.Beretta, E. Identifying a space dependent coefficient in a reaction-diffusion equation / E. Beretta // Inverse Problems and Imaging. – 2011. – Vol. 5, № 2. – P. 285–296.Kamynin, V. L. The inverse problem of determining the lower-order coefficient in parabolic equations with integral observation / V. L. Kamynin // Mathematical Notes. – 2013. – Vol. 94, № 2. – P. 205–213.Pyatkov, S. G. Identification of thermophysical parameters in mathematical models of heat and mass transfer / S. G. Pyatkov // Journal of Computational and Engineering Mathematics. – 2022. – Vol. 9, № 2. – P. 52–66.Пятков, С. Г. О некоторых классах линейных обратных задач для параболических систем уравнений / С. Г. Пятков, Е. И. Сафонов // Сибирские электронные известия. – 2014. – Т. 11. – С. 777–799. – URL: http://semr.math.nsc.ru/v11/p777-799.pdf (дата обращения: 15.08.2025).Pyatkov, S. G. Inverse problems of recovering lower-order coefficients from boundary integral data / S. G. Pyatkov, O. A. Soldatov // Axioms. – 2025. – Vol. 14, № 2. – P. 116.Pyatkov, S. Coefficient inverse problems of identification of thermophysical parameters from boundary integral data / S. Pyatkov, T. Pronkina // Journal of Mathematical Sciences. – 2024. – Vol. 282, № 2. – P. 241–252.Вабищевич, П. Н. Вычислительная идентификация младшего коэффициента параболического уравнения / П. Н. Вабищевич, В. И. Васильев // Доклады академии наук. Математика. – 2014. – Т. 455, № 3. – С. 258–260.Hussein, M. S. Simultaneous determination of time-dependent coefficients and heat source / M. S. Hussein, D. Lesnic // International Journal for Computational Methods in Engineering Science and Mechanics. – 2016. – Vol. 17, № 5-6. – P. 401–411.Mamonov, A. V. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems / A. V. Mamonov, Y-H. R. Tsai // Inverse Problems. – 2013. – Vol. 29, № 3. – P. 1–26.Triebel, H. Interpolation theory. Functional spaces. Differential Operators / H. Triebel. – Berlin : VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978. – 532 p.Ladyzhenskaya, O. A. Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type / O. A. Ladyzhenskaya, N. N. Uraltseva, V. A. Solonnikov. – Providence : American Mathematical Society, 1968. – 648 p.Denk, R. Optimal L_p-L_q-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data / R. Denk, M. Hieber, J. Prüss // Mathematische Zeitschrift. – 2007. Vol. 257, № 1. – P. 193–224.Meyries, M. Maximal regularity with temporal weights for parabolic problems with inhomogeneous boundary conditions / M. Meyries, R. Schnaubert // Mathematische Nachrichten. – 2012. – Vol. 285, № 8-9. – P. 1032–1051.Hummel, F. Elliptic and parabolic boundary value problems in weighted function spaces / F. Hummel, N. Lindemulder // Potential Analysis. – 2022. – Vol. 57. – P. 601–669.Liebermann, G. M. Second order parabollic differential equations / G. M. Liebermann. – Singapure : World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2005. – 452 p.Linear and Quasilinear Parabolic Problems : Vol. II: Function Spaces / H. Amann. – Cham : Springer Nature Switzerland AG, 2019. – 462 p.