Yugra State University BulletinYugra State University BulletinВестник Югорского государственного университета1816-92282078-9114Yugra State University64092810.18822/byusu20240482-91MATHEMATICAL MODELING AND INFORMATION TECHNOLOGIESМАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИResearch ArticleOn the determination of points sources in inverse heat and mass transfer problemsОб определении точечных источников в обратных задачах тепломассопереносаShmorganSergey A.ШморганСергей Андреевич
Russian Federation

Postgraduate Student, Engineering School of Digital Technologies

аспирант 2 года обучения направления «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Инженерной школы цифровых технологий

s_shmorgan@ugrasu.ruNeustroevaLyubov V.НеустроеваЛюбовь Владимировна
Russian Federation

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Researcher

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник

l_neustroeva@ugrasu.ruYugra State UniversityЮгорский государственный университет2712202420482910411202405112024Copyright ©; 2024, Yugra State UniversityCopyright ©; 2024, Югорский государственный университет2024Yugra State UniversityЮгорский государственный университетhttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/640928

Subject of research: problems of numerical determination of point sources in inverse heat and mass transfer problems.

Purpose of research: description of theoretical results (theorem of existence and uniqueness of solutions of the inverse problem), creation of an algorithm for solving the problem of numerical determination of point sources, study of its properties, numerical implementation of the algorithm and its testing and verification of stability.

Objects of research: problems of numerical determination of point sources (right-hand side of a special type) in inverse problems of heat and mass transfer. The sources are specified as a sum of Dirac delta functions with coefficients that depend on time and characterize the power of the corresponding source. They are unknown and are to be determined together with a solution of the equation. The values of the solution at a certain set of points lying inside the domain serve as the overdetermination data.

Methods of research: the algorithm is based on the finite element method for spatial variables and the finite difference method for time. The unknown right-hand side is determined at each time layer using the overdetermination condition.

Main results of research: description of the algorithm for solving the problem, its properties, results of numerical experiments. In particular, the conditions are described when the algebraic system to which the problem is reduced has a unique solution. The data obtained as a result of the calculations are compared with test examples. The calculations are also carried out with the addition of random noise of various levels to the measurement data. The results show that the solution is stable under random perturbations of the data.

Предмет исследования: задачи численного определения точечных источников в обратных задачах тепломассопереноса.

Цель исследования: описание теоретических результатов (теорема существования и единственности решений обратной задачи), создание алгоритма решения задачи численного определения точечных источников, исследование его свойств, численная реализация алгоритма и его тестирование и проверка на устойчивость.

Объект исследования: задачи численного определения точечных источников (правой части специального вида) в обратных задачах тепломассопереноса. Источники задаются в виде суммы дельта-функций Дирака с коэффициентами, зависящими от времени и характеризующими мощность соответствующего источника. Они являются неизвестными и подлежат определению вместе с решением уравнения. В качестве данных переопределения задаются значения решения в некотором наборе точек, лежащем внутри области.

Методы исследования: алгоритм основан на методе конечных элементов по пространственным переменным и методе конечных разностей по времени. Неизвестная правая часть определяется на каждом временном слое при помощи условия переопределения.

Основные результаты исследования: описание алгоритма решения, его свойств, результаты численных экспериментов. В том числе описаны условия, когда алгебраическая система, к которой приводится задача, имеет единственное решение, проведено сравнение данных, полученных в результате расчетов, с тестовыми примерами. Расчеты проводились в том числе и с добавлением к данным замеров случайного шума различного уровня. Результаты показали, что решение устойчиво при случайном возмущении данных задачи.

parabolic equationinverse problemheat and mass transfernumerical solutionfinite element methodпараболическое уравнениеобратная задачатепломассопереносчисленное решениеметод конечных элементовThe research was carried out within the framework of the state assignment of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (topic “Analytical and numerical study of inverse problems on determining the parameters of sources of atmospheric or water pollution and (or) environmental parameters”, topic code: FENG-2023-0004).Исследование выполнено в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования РФ (тема: «Аналитическое и численное исследование обратных задач об определении параметров источников атмосферного или водного загрязнения и (или) параметров среды», код темы: FENG-2023-0004).Marchuk, G. I. Mathematical Models in Environmental Problems / G. I. Marchuk. – Amsterdam : Elsevier Science Publishers, 1986. – 217 p.Ozisik, M. N. Inverse Heat Transfer / M. N. Ozisik, H. R. B. Orlande. – New York : Taylor & Francis, 2000. – 297 p.Алифанов, O. M. Обратные задачи сложного теплообмена / O. M. Алифанов, Е. А. Артюхов, А. B. Ненарокомов. – Москва : Янус-К, 2009. – 299 с. – Текст : непосредственный.Панасенко, А. Е. Численное решение некоторых обратных задач с различными типами источников атмосферного загрязнения / А. Е. Панасенко, А. В. Старченко. – Текст : непосредственный // Вести Томского государственного университета. Математика и механика. – 2008. – № 2 (3). – C. 47–55.Пененко, В. В. Вариационные методы усвоения данных и обратные задачи для изучения атмосферы, океана и окружающей среды / В. В. Пененко. – Текст : непосредственный // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2009. – Т. 2, № 4. – С. 341–351.Deng, X. On linear finite elements for simultaneously recovering source location and intensity / X. Deng, Y. Zhao, J. Zou // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. – 2013. – Vol. 10, № 3. – P. 588–602.Пененко, А. В. Алгоритмы локализации источников загрязнения атмосферного воздуха на основе данных автоматизированной системы экологического мониторинга / А. В. Пененко, С. К. Рахметуллина. – Текст : непосредственный // Сибирские электронные математические известия. – 2013. – Т. 10. – С. 35–54.Badia, A. El. Identification of a point source in a linear advectiondispersionreaction equation: application to a pollution source problem / A. El. Badia, T. Ha-Duong, A. Hamdi // Inverse Problems. – 2005. – Vol. 21, № 3. – P. 1121–1136.Badia, A. El. Inverse source problem in an advection-dispersion-reaction system: application to water pollution / A. El. Badia, A. Hamdi // Inverse Problems. – 2007. – Vol. 23. – P. 2103–2120.Badia, A. El Inverse source problem for the heat equation: application to a pollution detection problem / A. El Badia, T. Ha-Duong // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. – 2002. – Vol. 10, № 6. – P. 585–599.Badia, A. El An inverse source problem in potential analysis / El Badia, T. Ha-Duong // Inverse Problems. – 2000. – Vol. 16, Iss. 3. – P. 651–663.Ling, L. Point sources identification problems for heat equations / L. Ling, T. Takeuchi // Communications in Computational Physics. – 2009. – Vol. 5, № 5. – P. 897–913.Pyatkov, S. G. Point sources recovering problems for the one-dimensional heat equation / S. G. Pyatkov, E. I. Safonov // Journal of Advanced Research in Dynamic al and Control Systems. – 2019. – Vol. 11, Iss. 01. – P. 496–510.Pyatkov, S. G. On some asymptotic representations of solutions to elliptic equations and their applications / S. G. Pyatkov, L. V. Neustroeva // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2021. – Vol. 66, № 6-7. – P. 964–987.Баранчук, В. А. О некоторых классах обратных задач с точечным переопределением для математических моделей тепломассопереноса / В. А. Баранчук, С. Г. Пятков. – Текст : непосредственный // Вестник ЮГУ. – 2020. – № 3. – С. 38–48.Пятков, С. Г. О разрешимости обратных задач об определении точечных источников / С. Г. Пятков, Л. В. Неустроева. – Текст : непосредственный // Математические заметки СВФУ. – 2022. – Т. 29, № 2. – С. 43–58.Belonogov, V. A. On solvability of some classes of transmission problems in a cylindrical space domain / V. A. Belonogov, S. G. Pyatkov // Сибирские электронные математические известия. – 2021. – T. 18, № 1. – С. 176–206.Triebel, H. Interpolation Theory. Function Spaces. Differential Operators / H. Triebel. – Berlin : VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1978. – 532 p.Ciarlet, P. G. The Finite Element Method for Elliptic Problems / P. G. Ciarlet. – Amsterdam, Noth-Holland Publishing Company, 1978. – 554 p.